Sygnał kroku jednostki zdefiniowany jako
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
ma trzy możliwe rozwiązania reprezentacji domeny Fouriera w zależności od typu podejścia. Są to następujące –
- Powszechnie stosowane podejście (Podręcznik Oppenheima) – obliczanie transformaty Fouriera funkcji kroku jednostkowego z transformacji Fouriera funkcji signum.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Transformacja Fouriera obliczona na podstawie transformaty Z funkcji kroku jednostkowego (patrz Podręcznik Proakis, Algorytmy i aplikacje cyfrowego przetwarzania sygnałów , strony 267, 268 sekcja 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Transformacja Fouriera obliczona przez podzielenie na funkcje parzyste i nieparzyste – zgodnie z instrukcją Proakis (patrz Podręcznik Proakis, Algorytmy i aplikacje cyfrowego przetwarzania sygnałów , strona 618 sekcja 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
Druga reprezentacja może zostać zignorowana, ponieważ nie jest funkcją dobrze zachowaną . Ale podejścia zastosowane przez Proakisa i Oppenheima są równie ważne (rozszerzają transformację Fouriera, aby uwzględnić impulsy w dziedzinie częstotliwości). Ale zamieszanie polega na tym, że zapewniają one różne rozwiązania.
Czy jest jakiś błąd w moim zrozumieniu? czy brakuje mi jakiegoś kluczowego punktu? Prosimy o pomoc w zrozumieniu tego oraz prawidłowej formy, której można używać we wszystkich aplikacjach. (Odkryłem, że podejście Oppenheima jest używane do wyprowadzania relacji Kramersa-Kroniga i podejścia Proakisa użytego do wyprowadzenia transformaty Hilberta)
Odpowiedź
Zauważ, że pierwszym wyrażeniem jest transformata Fouriera ciągłego kroku jednostkowego $ u (t) $, więc nie ma ono zastosowania do dyskretnej sekwencji kroku czasu $ u [ n] $. Co więcej, drugie i trzecie wyrażenie są poprawne i są identyczne, jeśli weźmiesz pod uwagę, że drugie wyrażenie nie deklaruje ważności przy całkowitych wielokrotnościach $ 2 \ pi $.
Jeśli pomijamy częstotliwości kątowe przy wielokrotnościach $ 2 \ pi $, trzecie wyrażenie to
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
co jest identyczne z drugim wyrażeniem.
Komentarze
- Wielkie dzięki! Tak, druga i trzecia są równoważne, ale w trzecim mają kompozycję poprzez włączenie impulsu na bieguny. Dziękuję za wyjaśnienie
Odpowiedź
Jak powiedział Matt, druga i trzecia definicja są takie same, z wyjątkiem część z impulsem. Impuls ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) odpowiada za wartość DC $ u [n] $ . Bez tego terminu (tj. Drugiej definicji) jest to w rzeczywistości FT z $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Mamy $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Dlatego też FT z $ u [n] $ ma dodatkowy termin uwzględniający dodanie $ \ frac {1 } {2} $ . Ponadto dyskretny czas FT (lub DTFT) $ u [n] $ jest poprawnie zapisywany jako $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
Pierwsza definicja, $ U (j \ omega) $ to „czas ciągły „FT (lub CTFT) z $ u (t) $ (nie $ u [n] $ ) a zatem różni się od pozostałych dwóch definicji.