Jednostki stałej grawitacji

Cóż, sposób aby znaleźć jednostki stałej, należy rozważyć równanie, w którym bierze udział:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ jest siłą: więc jest mierzona w niutonach ($ \ operatorname {N} $). Niuton jest siłą potrzebną do nadania kilogramowi przyspieszenia o jeden metr na sekundę na sekundę: więc w jednostkach SI jego jednostki to $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ i $ m_2 $ to masy: w jednostkach SI mierzone są w kilogramach, $ \ nazwa operatora {kg} $, a $ r $ to długość: mierzona jest w metrach, $ \ nazwa operatora {m} $.

Zatem ponownie w jednostkach SI możemy przepisać powyższe jako coś w rodzaju

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

gdzie $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ i $ \ rho $ to czyste liczby (są to wartości liczbowe różnych wielkości w jednostkach SI). Musimy więc uzyskać wymiary tego żeby miało to sens i robiąc to, od razu widać, że

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

gdzie $ \ gamma $ jest liczbą i jest wartością liczbową $ G $ w jednostkach SI.

Alternatywnie, jeśli wstawimy niutony z powrotem do LHS otrzymujemy

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy spojrzeć na równanie $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Jeśli więc G jest mierzone w $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, a masa w kg, a odległość w m, to siła jest mierzona za pomocą $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, co upraszcza do $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

A teraz, aby zdefiniować $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $, twój instynkt może być podzielony na $ \ rm m / s ^ 2 $ i kg. Jeśli $ \ rm m / s ^ 2 $ to jednostka przyspieszenia, a kg to jednostka masy, to siła musi być pomnożona przez masę i przyspieszenie. Opisuje to Sir Issac Newton PRS „druga zasada ruchu opisuje:

$ F = ma $

Więc ma sens, że stała grawitacyjna G jest mierzona w $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Komentarze

• Nie wiem, czy ” PRS ” jest potrzebne do opisania Newtona

To problem.

Stałe nawiązują do czystych liczb, więc naprawdę zabawne jest, że stała powinna mieć jednostki miary.

Jest to problem z dopasowaniem. Stwierdzasz lub domyślasz się, że coś zależy od czegoś innego, proporcjonalnie, jak gdy x wzrasta od 3 do 4, y od 6 do 8 (więc y = 2 * x, gdzie 2 jest stałą) lub odwrotnie proporcjonalnie (y = x / 2), więc kiedy jesteś przekonany, że znalazłeś wszystko, co może wpłynąć na to, co prawie masz swoje równanie, np. Y = a x ^ 2 + bx + c prosty kwadrat w jednym wymiarze lub coś takiego jak w = x y.

Ostatnim krokiem jest dodanie stałych, aby liczby i wyniki były zgodne.

Jednak jeśli według zasad jednostek miar jednostki nie są zgodne, pojawia się problem. Poświęcisz się za to, jeśli twoja stała zachowuje się, mimo że ma jednostki, ale być może pamiętaj, że w równaniu jest coś więcej niż tylko uproszczenie lub oczywiście, że twój pierwotny pomysł jednostek miary ma wadę. przedefiniuj swoje pierwsze zasady, tj. prędkość nie jest metr / sekundy, więc na razie to pomiń.

Równanie grawitacyjne w tej formie jest również bardzo podobne do prawa Coulomba, w rzeczywistości jest zbyt podobne, oba są w większości przewodnikami powiedzieć, że siła jest proporcjonalna do mas obiektów i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości (w przypadku grawitacji)

Otrzymujesz równe kwadraty z siłą grawitacji, tj. (kg / m) 2 więc jeśli całość jest podniesiona do kwadratu, możesz się zastanawiać, jaki jest kg / m.

Na przykład: Kwadraty pojawiają się, gdy dodajesz ng rzeczy poprzez całkowanie całkuje inne dobre pojęcie matematyczne, które jednak, przynajmniej graficznie, jest przybliżeniem.

Więc mówimy, że jeśli y = x ^ 2, to dy / dx = 2x, a całkowanie jest odwrotnością różniczkowania , używając notacji „Całka x” jako I (x), a następnie I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (zawsze dodajemy stałą do całkowania dla brakującej części.

Więc może (grawitacyjna) siła wynosi f = ja (coś), więc kończy się do kwadratu.

Siła to zabawne zwierzę. Masz takie rzeczy jak impulsy, takie jak energia, praca i moc, wszystkie koncepcje w fizyce, połączone. Na przykład praca iirc = moc * czas, ale to tylko zdrowy rozsądek, więc zatrzymam się tutaj.

Dodano:

Aby zacząć myśleć o kilogramach / m i czym to jest, jedna rzecz, która przyszła mi do głowy, te dwie rzeczy są połączone, gdy coś pokonuje odległość, jak zależy odległość na masę? Cóż, z pewnością, kiedy masz tarcie, masa ma znaczenie. Możesz też pomyśleć o gęstości, czyli o masie / objętości.

Więc F ~ objętość ^ 2 i być może F = objętość coś, co sprowadza ją z powrotem do kg m / s ^ 2. coś, co w dostrzegalnym lokalnym jest stabilne, stałe. Pamiętaj, że jeśli F = I (x) i zawiera m / s ^ 2, istnieje całkowa zależność między prędkością a przyspieszeniem (s = v t + a t / 2), gdzie s jest odległość, v to prędkość, a to przyspieszenie it czas. Pamiętaj, że całkowanie jest również subiektywne, całkujesz coś, więc jeśli w = x y i oba x i y są zmiennymi, możesz całkować w przez x i całkować w przez y. Są to / (mogą być) addytywne pod warunkiem, że są niezależne coz jeśli y = f (x) możesz przejść do pojedynczej zmiennej w = x f (x) => w = g (x)

Ponieważ to pytanie miało 46 tys. (!) wyświetleń, warto dodać odpowiedź nawet po 4 latach.

$ G $ to stała eksperymentalna wymagana do dopasowania energii potencjalnej Newtona do eksperymentu. Energia potencjalna Newtona to $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Dzielenie przez energię $ mc ^ 2 $ otrzymujesz bezwymiarowy potencjał $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Ponieważ $ V $ jest bezwymiarowy $ GM / c ^ 2 $ to długość. Ta długość jest interpretowana jako połowa promienia czarnej dziury o masie M, $ r_M / 2 $ . G ma wymiar $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Możesz zatem zapisać bezwymiarowy potencjał jako $$ V = r_M / 2r $$ , gdzie jedyną stałą jest długość z wyraźną, choć egzotyczną interpretacją.

Najbardziej bezpośrednia interpretacja – taka, która wykracza poza paradygmat paradygmatu między fizyką relatywistyczną i nierelatywistyczną i jest połączona z równaniem Raychaudhuri, jest to pod względem kurczenia się objętości.

Chmura otaczająca masę $ M $ , której wszystkie składniki są w ruchu promieniowym, ma objętość, która jako funkcja czasu $ V (t) $ spełnia równanie $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Jeśli początkowo jest nieruchomy, to początkowe przyspieszenie objętości poniżej siła grawitacji wynosi $ – 4πGM $ , wartość ujemna wskazuje, że zaczyna się kurczyć.

Zatem jednostki dla $ GM $ to metry sześcienne na sekundę na sekundę.

Uogólnienie tego na klasę $ n + 1 $ wymiarowa czasoprzestrzeń to $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ używając konwencji $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , gdzie $ G_n $ to $ n $ – wymiarowa wersja współczynnika Newtona; której jednostkami byłyby metrⁿ / (sekunda² kilogram).