To mało trafna – ale prosta – odpowiedź

Pozwala na obliczenie tylko radialnej konfiguracji wyrównania planet.

Jeśli chcesz uzyskać przybliżenie, powiedzmy, przybliżasz położenie planet jako wskazówki zegara, możesz obliczyć matematykę za pomocą czegoś takiego.

Załóżmy, że $ \ theta_i $ jest początkowym kątem dla planety $ i $ w czasie $ t_0 $ – mierzonym z dowolnego, ale ustalonego pozycja, a $ l_i $ to długość roku – w dniach – dla planety $ i $.

Następnie następuje przejście do rozwiązania następującego układu równań:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Stąd po prostu zastosowałbyś chińskie twierdzenie o reszcie .

Znalezienie minimalnego x da ci kąt, pod jakim planeta, która przy $ t_0 $ miała kąt $ \ theta_i = 0 $, przebyłaby do osiągnięcia konfiguracji wyrównania . ZA podsumowując, wybierz Ziemię jako wspomnianą planetę, a następnie podziel ten kąt przez pełny obrót (360 $ ^ {o} $), a otrzymasz liczbę lat, przez które ta konfiguracja zostanie osiągnięta – z konfiguracji $ t_0 $.

Różne $ \ theta_i $ w stopniach dla wszystkich planet 1 stycznia 2014 r. – możesz użyć tego jako $ t_0 $:

\ begin {align} Merkury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Źródło

Różne $ l_i $ w dniach dla wszystkich planet:

\ begin {align} Merkury & \ quad 88 \\ Wenus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jowisz & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Wreszcie pod aproksymacją wartości całkowitych i używając tego rozwiązanie online dla układu równań odpowiedź to $ x = 4,0384877779832565 \ times 10 ^ {26} $, co podzielone przez 360 $ ^ {o} $ daje w przybliżeniu $$ 1,1218 \ times 10 ^ {24} \ quad \ text { lat} $$

Edytuj 1

Właśnie znalazłem tę witrynę , którą możesz się pobawić. Jest to interaktywna aplikacja flash z dokładnym położeniem planet.

Wiem również, że wszystkie informacje można uzyskać z tej strony NASA i jest to najdokładniejsze, jakie możesz uzyskać, ale teraz jest dla mnie niezrozumiałe. Spróbuję to poprawić później, gdy znajdę czas.

Ponadto ta książka Jeana Meeusa pt. Astronomical Algorithms zawiera wszystkie podstawowe równania i formuły – nie ma to jednak nic wspólnego z algorytmami programowania.

Edycja 2

Widząc że jesteś programistą, warto byłoby dla Ciebie sprawdzić witrynę NASA, o której wspomniałem powyżej, dostęp do danych wszystkich planet można uzyskać nawet przez $ \ tt {telnet} $.Lub ta witryna Sourceforge , w której znajdują się implementacje wielu równań opisanych w książce, o której mowa powyżej.

Komentarze

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ działa tak samo w komentarzach. Myślę, że twoje podejście jest najlepsze, co możesz zrobić bez nadmiernych symulacji. Wszystko, co musisz zrobić, to wprowadzić rzeczywiste dane; to była ta część, która sprawiła, że wahałem się przed udzieleniem odpowiedzi.
• @Gerald och, myślałem, że znaczniki równań nie ' nie działają w komentarzach. Tak, ' brakuje mi danych, w szczególności $ \ theta_i $. Dodam różne informacje $ l_i $.
• W jaki sposób ten solarsystemscope może pokazywać dokładne względne pozycje planet, gdy ich odległości od Słońca są nieprawidłowe? Może prawidłowo pokazywać położenie każdej planety względem Słońca w izolacji, a zatem być dobrym rozwiązaniem dla tego pytania, ale nie do znajdowania koniunkcji.
• @LocalFluff To prawda. Zapewnia to tylko odpowiedź na radialne konfiguracje wyrównania. Edytowano.
• W tej odpowiedzi jest kilka błędów. Po pierwsze, używając wszystkich cyfr w tabelach (co oznacza zamianę na centy i centy), w rzeczywistości otrzymuję $ x \ ok.1,698 \ times10 ^ {42} $ (z tego samego narzędzia online), co daje 1,29 $ \ times10 ^ {33 } $ yr. Nie ' nie wiem, w jaki sposób uzyskałeś niższą wartość, ale podejrzewam, że pominąłeś niektóre cyfry. Po drugie, pokazuje to, że przy dodawaniu większej liczby cyfr rozwiązanie dąży do nieskończoności: poprawna odpowiedź to: wyrównanie radialne nigdy nie występuje . Wreszcie, założenie, że planety ' poruszają się po tym prostym ruchu, jest po prostu błędne .

Prawidłowa odpowiedź to „ nigdy „, dla kilku powodów. Po pierwsze , jak wskazano w komentarzu Florina, orbity planety nie są współpłaszczyznowe i dlatego nie mogą być wyrównane , nawet gdyby każda planeta mogła być dowolnie umieszczona na jej płaszczyźnie orbity. Po drugie , nawet czyste wyrównanie radialne nigdy nie występuje, ponieważ okresy planety są niewspółmierne – ich proporcje nie są liczbami wymiernymi. Wreszcie planety „orbity” ewoluują w skali czasu milionów lat, głównie z powodu ich wzajemnego Ciągnąć. Ta ewolucja jest (słabo) chaotyczna i przez to nieprzewidywalna przez bardzo długi czas.

zła odpowiedź Harogastona zasadniczo przybliża okresy orbitalne przez najbliższe współmierne liczby, dające bardzo długi czas (chociaż pomylił się o współczynnik zaledwie 10 ^ {16} $).

O wiele bardziej interesujące pytanie (i być może to, które faktycznie Cię interesowało ) to częstotliwość, z jaką 8 planet prawie wyrównuje się promieniowo . Tutaj „ prawie ” może po prostu oznaczać „ w granicach 10 $ ^ \ circ $, jak widać ze Słońca ”. W takiej sytuacji wzajemne przyciąganie grawitacyjne planet wyrówna się, a tym samym spowoduje silniejsze zmiany orbity niż średnia.

Jakiekolwiek oszacowanie wspólnego okresu więcej niż dwóch planet (tj. po jakim czasie w przybliżeniu ponownie zrównają się one w heliocentrycznej długości geograficznej?) zależy bardzo silnie od tego, jakie odchylenie od idealnego zestrojenia jest dopuszczalne.

Jeśli okres planety $ i $ wynosi $ P_i $, a dopuszczalne odchylenie w czasie wynosi $ b $ (w tych samych jednostkach co $ P_i $), to łączny okres $ P $ wynoszący wszystkie planety $ n $ to w przybliżeniu $$ P \ ok \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$, więc zmniejszenie dopuszczalnego odchylenia o współczynnik 10 oznacza zwiększenie wspólnego okresu o współczynnik 10 $ ^ {n-1} $, co dla 8 planet jest równe 10 000 000. Dlatego nie ma sensu cytowanie zwykłego okresu, jeśli nie określisz również, jakie odchylenie było dopuszczalne. Gdy dopuszczalne odchylenie spadnie do 0 (aby osiągnąć „idealne wyrównanie”), wówczas wspólny okres wydłuża się do nieskończoności. Odpowiada to kilku komentatorów „twierdzi, że nie ma wspólnego okresu, ponieważ okresy nie są współmierne.

Dla planet” okresy wymienione przez harogaston, $ \ prod_i P_i \ ok. 1.35 \ times10 ^ 6 $, gdy $ P_i $ są mierzone w latach juliańskich po 365,25 dni, więc typowy okres w latach wynosi około $$ P \ ok \ frac {1.35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$, jeśli $ b $ jest również mierzone w latach. Jeśli okresy są przybliżone do najbliższego dnia, to $ b \ ok. 0,00274 $ lat i $ P \ ok. 1,2 \ times10 ^ {24} $ lat. Jeżeli okresy są przybliżone do najbliższego 0,01 dnia, to $ b \ ok. 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ i $ P \ ok. 1,2 \ times10 ^ {38} $ lat.

Wyprowadzenie powyższego wzoru jest następujące:

Przybliż okresy planet przez wielokrotności jednostki podstawowej $ b $: $ P_i \ ok. p_i b $ gdzie $ p_i $ jest liczbą całkowitą. Wówczas wspólny okres jest co najwyżej równy iloczynowi wszystkich $ p_i $. Ten iloczyn nadal jest mierzony w jednostkach $ b $; musimy pomnożyć przez $ b $, aby wrócić do pierwotnych jednostek. , wspólny okres wynosi około $$ P \ ok. b \ prod_i p_i \ ok. b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Powyższe wyprowadzenie nie bierze pod uwagę, że $ p_i $ może mieć wspólne czynniki, więc wyrównanie następuje wcześniej niż sugeruje $ \ prod_i p_i $. Jednak to, czy jakiekolwiek dwa $ p_i $ mają wspólne czynniki, zależy silnie od wybranego okresu bazowego $ b $, więc jest to w rzeczywistości zmienna losowa i nie wpływa na globalną zależność $ P $ od $ b $.

Jeśli wyrazisz dopuszczalne odchylenie w kategoriach kąta zamiast czasu , spodziewam się, że otrzymasz odpowiedzi zależne od wielkości dopuszczalnego odchylenia jako zdecydowanie jak dla powyższego wzoru.

Zobacz http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html , aby zobaczyć wykres $ P $ jako funkcja $ b $ dla wszystkich planet łącznie z Plutonem.

EDYTUJ:

Oto oszacowanie z akceptowalnym odchyleniem pod względem kąta . Chcemy, aby wszystkie planety znajdowały się w zakresie szerokości $ δ $ ze środkiem na długości geograficznej pierwszej planety; długość geograficzna pierwsza planeta jest wolna. Zakładamy, że wszystkie planety poruszają się w tym samym kierunku po współpłaszczyznowych kołowych orbitach wokół Słońca.

Ponieważ planety ” okresy nie są współmierne, wszystkie kombinacje długości planet występują z tym samym prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo $ q_i $, że w pewnym określonym momencie długość geograficzna planety $ i > 1 $ znajduje się w segmencie szerokości $ δ $ wyśrodkowanym na długości planety 1 jest równe to $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Prawdopodobieństwo $ q $, że wszystkie planety od 2 do $ n $ znajdują się w tym samym segmencie długości geograficznej ze środkiem planety 1, wynosi $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Aby przetłumaczyć to prawdopodobieństwo na średni okres, musimy oszacować, ile czasu wszystkie planety są wyrównane (w granicach $ δ $) za każdym razem, gdy wszystkie są wyrównane.

Pierwsze dwie planety tracące wzajemne wyrównanie są najszybsze i najwolniejsze planet. Jeśli ich okres synodyczny to $ P _ * $, to będą wyrównane przez pewien czas $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$, a następnie przez jakiś czas poza wyrównaniem, zanim ponownie przejdą do wyrównania Tak więc każde wyrównanie wszystkich planet trwa mniej więcej w przedziale $ A $, a wszystkie te wyrównania razem obejmują ułamek $ q $ wszechczasów. Jeśli średni okres, po którym następuje kolejne wyrównanie wszystkich planet, wynosi $ P $, to musimy mieć $ qP = A $, więc $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Jeśli są tylko dwie planety, to $ P = P _ * $ niezależnie od $ δ $, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Jeśli jest wiele planet, najszybszą planetą jest dużo szybciej niż najwolniejsza, więc wtedy $ P _ * $ jest prawie równe okresowi orbitalnemu najszybszej planety.

Tutaj również oszacowanie średniego czasu między kolejnymi wyrównaniami jest bardzo wrażliwe na wybraną granicę odchylenia (jeśli zaangażowanych jest więcej niż dwie planety), więc nie ma sensu podawać takiego łącznego okresu jeśli nie wspomnisz również, jakie odchylenie było dozwolone.

Ważne jest również, aby pamiętać, że (jeśli są więcej niż dwie planety) te (prawie) wyrównania wszystkich z nich nie występują regularnie odstępach czasu.

Teraz podajmy kilka liczb. Jeśli chcesz, aby wszystkie 8 planet znalazło się w obrębie 1 stopnia długości geograficznej, średni czas między dwoma takimi wyrównaniami jest w przybliżeniu równy orbitom $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ najszybszej planety. W Układzie Słonecznym Merkury jest najszybszą planetą, z okresem około 0,241 roku, więc średni czas między dwoma zestawieniami wszystkich 8 planet w obrębie 1 stopnia długości geograficznej wynosi około 5 $ x 10 ^ {14} $ lat.

Jeśli jesteś już zadowolony z wyrównania do 10 stopni długości geograficznej, to średni okres między dwoma takimi wyrównaniami jest mniej więcej równy $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ orbitom Merkurego, czyli około 500 milionów lat.

Jakiego najlepszego dostosowania możemy się spodziewać w ciągu najbliższych 1000 lat? 1000 lat to około 4150 orbit Merkurego, więc $ (360 ° / δ) ^ 6 \ ok. 4150 $, więc $ δ \ ok. 90 ° $. W wybranym losowo przedziale 1000 lat występuje średnio jedno wyrównanie wszystkich 8 planet do segmentu 90 °.

Technicznie rzecz biorąc, prawdziwym sposobem na znalezienie okresu między wyrównaniem wszystkich 8 planet jest znalezienie LCM wszystkich 8 ich długości lat.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Rozumiem, że jest to przybliżone oszacowanie, ponieważ są one zaokrąglane do najbliższej liczby całkowitej, ale daje dobry pomysł liczby dni, które zajmie.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Tyle lat.

Komentarze

• Wygląda na to, że jest to ta sama metoda, co opisana w Caters ' s answe r .