Layman ' wyjaśnienie i zrozumienie równań pola Einsteina '

Równania Einsteina można luźno podsumować jako główną zależność między materią a geometrią czasoprzestrzeni . Postaram się przedstawić jakościowy opis, co oznacza każdy wyraz w równaniu. Będę jednak musiał ostrzec potencjalnych czytelników, że nie będzie to krótka odpowiedź. Ponadto będę Powstrzymaj się od wyprowadzania równań w ” elementarny ” sposób, ponieważ z pewnością żadnego nie znam.

Materia

Po prawej stronie equa najważniejszą rzeczą jest pojawienie się tensora pędu i energii $ T _ {\ mu \ nu} $ . Koduje dokładnie, w jaki sposób materia – rozumiana w szerokim znaczeniu, tj. Jakakolwiek nośnik energii (lub masa, pęd lub ciśnienie) – jest rozprowadzana we wszechświecie. Aby zrozumieć, jak interpretować indeksy dolne $ T $ , zobacz moje wyjaśnienie tensora metrycznego poniżej.

Jest on pomnożony przez pewne podstawowe stałe natury $ \ Big ($ współczynnik $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ , ale nie ma to żadnego kluczowego znaczenia: można je postrzegać jako narzędzia księgowe, które śledzą jednostki wielkości, które są powiązane równaniem. W rzeczywistości zawodowi fizycy zazwyczaj wolą aby przedefiniować nasze jednostki miary w celu uproszczenia wyglądu naszych wyrażeń poprzez pozbycie się nieznośnych stałych, takich jak ten. Jedną z konkretnych opcji byłoby wybranie ” zredukowanych jednostek Plancka „, w którym $ 8 \ pi G = 1 $ i $ c = 1 $ , tak aby współczynnik wynosił 1 $ .

Różnica g eometry

Po lewej stronie równań Einsteina znajdujemy kilka różnych terminów, które razem opisują geometrię czasoprzestrzeni. Ogólna teoria względności to teoria, która wykorzystuje ramy matematyczne znane jako (semi-) geometria riemannowska . W tej gałęzi matematyki studiuje się przestrzenie, które są w pewnym sensie gładkie i są wyposażone w metrykę . Najpierw spróbujmy zrozumieć, co oznaczają te dwie rzeczy.

Właściwość gładkości można zilustrować na intuicyjnym (i historycznie ważnym!) Przykładzie gładkiej (dwuwymiarowej) powierzchni w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni . Wyobraź sobie na przykład powierzchnię wyidealizowanej piłki nożnej, czyli 2-kuli. Teraz, jeśli skupisz swoją uwagę na bardzo małym skrawku powierzchni (trzymaj piłkę przy swojej twarzy), wydaje się, że piłka jest prawie płaska. Jednak oczywiście nie jest on globalnie płaski. Nie zważając na matematyczny rygor, możemy powiedzieć, że przestrzenie, które mają tę właściwość, że wydają się lokalnie płaskie, są w pewnym sensie gładkie . Matematycznie nazywa się je rozmaitościami. Oczywiście globalnie płaska powierzchnia, taka jak nieskończona kartka papieru, jest najprostszym przykładem takiej przestrzeni.

W geometrii riemannowskiej (i geometrii różniczkowej bardziej ogólnie) bada się takie gładkie przestrzenie (rozmaitości) o dowolnym wymiarze. Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że można je badać bez wyobrażania sobie, że są osadzone w przestrzeni wyższego wymiaru, tj. Bez wizualizacji, której mogliśmy użyć w piłce nożnej, lub jakiegokolwiek innego odniesienia może znajdować się ” poza ” samą przestrzenią, ale nie musi.Mówi się, że można badać je i ich geometrię wewnętrznie .

Metryka

Jeśli chodzi o samoistne badanie geometrii rozmaitości, najważniejsze przedmiotem badań jest miernik (tensor). Fizycy zazwyczaj określają to jako $ g _ {\ mu \ nu} $ . W pewnym sensie daje nam pojęcie odległości na rozmaitości. Rozważ dwuwymiarową rozmaitość z metryką i umieść na niej ” siatkę współrzędnych „, tj. Przypisz do każdego punktu zestaw dwóch liczby, $ (x, y) $ . Następnie metrykę można wyświetlić jako $ 2 \ times 2 $ macierz z $ 2 ^ 2 = 4 $ wpisy. Wpisy te są oznaczone indeksami dolnymi $ \ mu, \ nu $ , które można wybrać jako równe $ x $ lub $ y $ . Metryka może być wtedy rozumiana jako po prostu tablica liczb:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Powinniśmy również powiedz, że metryka jest zdefiniowana w taki sposób, że $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , tj. jest symetryczna w stosunku do swoich indeksów. Oznacza to, że w naszym przykładzie $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Rozważmy teraz dwa pobliskie punkty, tak że różnica we współrzędnych między nimi wynosi $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Możemy oznaczyć to w notacji skróconej jako $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ gdzie $ \ mu $ to $ x $ lub $ y \;, $ i $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ i $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Następnie definiujemy kwadrat odległości między dwoma punktami, zwany $ \ mathrm {d} s \;, $ as

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Aby dowiedzieć się, jak to działa w praktyce, spójrzmy na nieskończone dwa wymiarowa płaska przestrzeń (tj wspomniana wyżej kartka papieru), z dwoma ” standardowymi ” współrzędnymi płaszczyzny $ x, y $ zdefiniowane na nim kwadratową siatką. Następnie wszyscy wiemy z twierdzenia Pitagorasa, że

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

To pokazuje, że w tym przypadku naturalna metryka płaskiej dwuwymiarowej przestrzeni jest określona wzorem

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Teraz, kiedy już wiemy, jak ” mierzyć ” odległości między pobliskimi punktami , możemy użyć typowej techniki z podstaw fizyki i zintegrować małe segmenty, aby uzyskać odległość między punktami, które są dalej usuwane:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Ge neralizacja do wyższych wymiarów jest prosta.

Tensory krzywizny

Jak próbowałem argumentować powyżej, tensor metryczny definiuje geometrię naszej rozmaitości (lub czasoprzestrzeni, w fizycznym przypadku) . W szczególności powinniśmy być w stanie wydobyć z niego wszystkie istotne informacje na temat krzywizny kolektora. W tym celu należy skonstruować tensor Riemanna (krzywizny) $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , który jest bardzo skomplikowanym obiektem, który analogicznie do wizualizacji metryki w postaci tablicy można traktować jako czterowymiarową tablicę, w której każdy indeks może przyjąć $ N $ wartości, jeśli istnieją $ N $ współrzędne $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ na rozmaitości (tj. jeśli „mamy do czynienia z przestrzenią wymiarową $ N $ ). Jest definiowany wyłącznie za pomocą metryki w skomplikowany sposób, który na razie nie jest aż tak ważny. Ten tensor zawiera prawie wszystkie informacje o krzywizny rozmaitości – i znacznie więcej niż my fizycy są zwykle zainteresowani. Czasami jednak dobrze jest przyjrzeć się tensorowi Riemanna, jeśli ktoś naprawdę chce wiedzieć, co się dzieje.Na przykład wszędzie znikający tensor Riemanna ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) gwarantuje że czasoprzestrzeń jest płaska. Jednym ze słynnych przypadków, w których taka rzecz jest przydatna, jest metryka Schwarzschilda opisująca czarną dziurę, która wydaje się być pojedyncza w promieniu Schwarzschilda $ r = r_s \ neq 0 $ . Po zbadaniu tensora Riemanna okazuje się, że krzywizna jest tutaj w rzeczywistości skończona, więc mamy do czynienia z osobliwością współrzędnej , a nie ” rzeczywistą ” grawitacyjna osobliwość.

Biorąc pewne ” części ” tensor Riemanna, możemy odrzucić część zawartych w nim informacji w zamian za konieczność zajmowania się tylko prostszym obiektem, tensorem Ricciego:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Jest to jeden z tensorów, który pojawia się w równaniach pola Einsteina. drugi człon równania zawiera skalarny Ricciego $ R $ , który jest zdefiniowany przez jeszcze raz kurczenie ( fantazyjne słowo dla ” sumujące wszystkie możliwe wartości indeksów niektórych indeksów „) tensora Ricciego, tym razem z odwrotnością metryka $ g ^ {\ mu \ nu} $ , którą można skonstruować ze zwykłej metryki za pomocą równania

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {and} 0 \ \ text {inaczej} $$

Zgodnie z obietnicą, skalar Ricciego jest skurczem tensora Ricciego i odwrotnością metryka:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Oczywiście skalar Ricciego ponownie zawiera mniej informacji niż tensor Ricciego, ale jest jeszcze łatwiejszy w obsłudze . Po prostu pomnóż to przez $ g _ {\ mu \ nu} $ ponownie daje w wyniku dwuwymiarową tablicę, tak jak $ R _ {\ mu \ nu} $ i $ T _ {\ mu \ nu} $ są. Szczególna kombinacja tensorów krzywizny, która pojawia się w równaniach pola Einsteina, jest znana jako tensor Einsteina

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

Stała kosmologiczna

Jest jeden termin, który do tej pory pomijaliśmy: stała kosmologiczna $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Jak sama nazwa wskazuje, $ \ Lambda $ jest po prostu stałą, która mnoży metrykę. Ten termin jest czasami umieszczany po drugiej stronie równania, ponieważ $ \ Lambda $ można postrzegać jako coś w rodzaju ” zawartość energii ” wszechświata, która może być lepiej zgrupowana z resztą materii, która jest skodyfikowana przez $ T _ {\ mu \ nu} $ .

Stała kosmologiczna jest szczególnie interesująca, ponieważ dostarcza możliwego wyjaśnienia (nie) słynnej ciemnej energii , która wydaje się wyjaśniać pewne ważne obserwacje kosmologiczne. To, czy stała kosmologiczna jest naprawdę niezerowa w naszym Wszechświecie, czy nie, jest kwestią otwartą, tak jak wyjaśnia to, co sugerują obserwacje wartości (tzw. problem stałej kosmologicznej aka ” najgorsze przewidywanie fizyki teoretycznej, jakie kiedykolwiek uczyniło „, jednym z moich osobistych zainteresowań).

---

PS. Jak wskazano w komentarzach, jeśli podobało Ci się to, możesz również przeczytać to pytanie i odpowiedzi na nie, które dotyczą tego innego ważne równanie ogólnej teorii względności, które opisuje ruch ” badanych cząstek ” w zakrzywionych czasoprzestrzeniach.

Równanie Einsteina wiąże zawartość materii (prawa strona równania) z geometrią (lewa strona) Można to podsumować słowami „masa tworzy geometrię, a geometria zachowuje się jak masa”.

Aby uzyskać więcej szczegółów, rozważmy, czym jest tensor. Tensor z dwoma indeksami (który jest tym, co mamy w równaniu Einsteina), można traktować jako mapę, która przenosi jeden wektor do innego. Na przykład tensor naprężenia-energii przyjmuje wektor pozycji i zwraca wektor pędu (matematycznie, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, a ja mieszam wektory i ko-wektory wszędzie, aby uprościć dyskusję). Interpretacja jest taka, że prawa strona równania Einsteina mówi nam o pędzie, który przechodzi przez powierzchnię określoną przez wektor położenia.

Lewą stronę również można interpretować w ten sposób. Krzywizna Ricciego $ R _ {\ mu \ nu} $ przyjmuje wektor pozycji i zwraca wektor informujący o tym, jak bardzo krzywizna zmienia się na powierzchni zdefiniowanej przez $ \ vec {x} $. Drugi i trzeci człon, oba mające współczynniki metryki $ g _ {\ mu \ nu} $, mówią nam, jak bardzo pomiary odległości ulegają zmianie podczas podróży wzdłuż wektora. Istnieją dwa czynniki wpływające na tę zmianę odległości – krzywizna skalarna $ R $ i $ \ Lambda $. Jeśli $ R _ {\ mu \ nu} $ jest „krzywizną w jednym kierunku”, to $ R $ jest „całkowitą krzywizną”. $ \ Lambda $ jest stałą, która mówi nam, ile wrodzonej energii ma pusta przestrzeń, dzięki czemu wszystkie odległości stają się większe dla $ \ Lambda > 0 $.

A więc czytając równanie od prawej do lewej, równanie „Einsteina” mówi nam, że pęd (ruchoma masa) powoduje zarówno krzywiznę, jak i zmianę w sposobie pomiaru odległości. „Czytając od lewej do prawej, równanie„ Einsteina ”mówi nam, że krzywizna i zmiana odległość działa jak przemieszczająca się masa. „

Komentarze

• Wow – świetne uproszczone wyjaśnienie.
• @levitopher Dlaczego to ' nazywa się ” stres ” w energii stresu?
• To czy to OK: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Krok do wyprowadzenia równań pola Einsteina (EFE) na moim blogu: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Znaczenie EFE (Wheeler): „Czasoprzestrzeń mówi, jak się poruszać, materia-energia mówi czasoprzestrzeni, jak zakrzywiać”

Proste słowa dla EFE: „Geometria” = „Krzywizna” (brak skręcenia w Ogólnej Teorii Względności nie oznacza, że pęd energii jest symetryczny, jak to okazuje się w przypadku metryki, tensora Ricciego i tensora Einsteina).

Poważniejsze znaczenie jest następujące:

-Leworęczna strona: Tensor Einsteina składa się z dwóch (trzech jeśli liczyć termin kosmologiczny) części. Mierzą krzywiznę spowodowaną przez lokalną metrykę czasoprzestrzeni, która nie jest stała (metryka Minkowskiego to płaska czasoprzestrzeń, włączona grawitacja oznacza, że metryka jest polem, tj. Zależną od lokalnych współrzędnych czasoprzestrzeni) i implikuje lokalną krzywiznę mierzone skalarem krzywizny i tensorem Ricciego, które połączone w sposób, w jaki zrobili to Einstein (i Hilbert), zapewniają prąd bez rozbieżności (tj. zachowanie pędu energii przez zrównanie z prawą stroną).

-Praworęczna strona: pęd energii pól powodujący wypaczenie czasoprzestrzeni / krzywa / zgięcie. Możesz dodać do tej strony termin kosmologiczny, a następnie nazwać ciemną energią … Otrzymujesz, że ciemna energia jest w jakiś sposób (z pewną ostrożnością) energią próżni czasoprzestrzeni. Uważamy, że jest to nie tylko niezerowy, ale główny kosmiczny składnik tworzący w tej chwili materię-energię (około 70%, satelity WMAP + PLANCK wydają się z tym zgadzać …).