Muszę obliczyć liczbę fotonów w wiązce światła o mocy $ P $ . Wiem, że ma stałą moc $ P $ w całym zakresie długości fal $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Tak więc, aby to obliczyć, użyłem wzoru podanego w innym pytaniu SE:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Wszystko w porządku i na tej podstawie wymyśliłem $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Ale nie jestem całkowicie przekonany do tego wzoru, ponieważ nie jestem w stanie wyprowadzić go z $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
Odpowiedź, którą otrzymałem ze wzoru, wydaje się właściwa, ale potrzebuję na to dowodu.
Źródło równania: Liczba fotonów
Komentarze
- Więc jakie jest wyrażenie na $ dE / d \ nu $ użyte do obliczenia całki?
- Cóż, moc jest równomiernie rozłożona w przedziale, więc powiedziałem $ E = h \ nu $, więc $ dE / d \ nu = h $
- Dlaczego nie $ E = 2h \ nu $ ? Możliwości jest wiele. Dlaczego wybierasz jedną konkretną? Równanie $ E = h \ nu $ jest związane z energią pojedynczego fotonu. Co jeśli nie masz źródła pojedynczego fotonu? Nawet jeśli Twoim źródłem jest pojedynczy foton. Te rzeczy zwykle wytwarzają wiele tysięcy impulsów pojedynczych fotonów na sekundę, więc znowu, twój wybór $ E $ wydaje się dziwny.
- To ' nie jest takie dziwne . I ' m obliczam całkowitą liczbę fotonów emitowanych przez źródło i są one równomiernie rozłożone. Rozumiem przez to, że moc jest taka sama dla każdej częstotliwości w zakresie. Więc $ E = h \ nu $ powinno być funkcją, której chcę. Jeśli nie, popraw mnie
Odpowiedź
Moc to ilość energii przekazywana na sekundę, więc wygrałeś ” nie być w stanie obliczyć liczby fotonów. Zamiast tego obliczysz liczbę fotonów na sekundę. Przyjmuję, że $ P $ oznacza całkowitą moc wiązki w zakresie częstotliwości zakres od $ \ nu_1 $ do $ \ nu_2 $ .
Liczba fotony na sekundę w małym przedziale widmowym $ \ delta \ nu $ będzie zależeć od stosunku mocy wiązki w tym przedziale widmowym do energii na foton w przedział widmowy.
Moc wiązki jest równa liczbie fotonów na sekundę podzielonej przez energię na foton. Fotony mają zakres częstotliwości, $ \ nu_1 $ do $ \ nu_2 $ . Problem stwierdza, że moc jest taka sama dla każdej częstotliwości w tym zakresie.
Niech N będzie całkowitą liczbą fotonów przenoszonych przez wiązkę na sekundę. Wybierzmy mały zakres częstotliwości od $ \ nu_i $ do $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Możemy udawać, że wszystkie fotony w tym małym zakresie mają tę samą częstotliwość, $ \ nu_i $ . Zatem liczba fotonów na sekundę w tym zakresie wynosi $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Ale $ dP / d \ nu $ jest stałą: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Aby znaleźć całkowitą liczbę fotonów na sekundę w całym zakresie, musimy zsumować wszystkie wkłady ze wszystkich małych zakresów:
$$ N (total photons / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
w całym $ \ nu_i $ w zakresie. To tylko całka
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
gdzie $ N $ to liczba fotonów na sekundę w zakresie od $ \ nu_1 $ do $ \ nu_2 $ .
(Mam nadzieję, że nie popełniłem żadnych błędów matematycznych. Jestem bardzo niezgrabny z MathJaxem.)
Komentarze
- W porządku, ale chciałem się dowiedzieć, jak wyprowadzić formułę. , jak się tam dostać z $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ w podanym przeze mnie wzorze to liczba fotonów na sekundę . $ N $ w $ E = Nh \ nu $ to liczba fotonów, a nie liczba fotonów na sekundę.
- Dobrze, a następnie powiedz $ P = Nh \ nu $ gdzie $ N $ to liczba oh fotonów na sekundę. czy wyprowadzasz wzór na $ N $, kiedy $ \ nu $ jest przedziałem czasowym?
- Ach, więc: musisz lepiej zrozumieć, co oznacza całka. Zmienię odpowiedź, aby to uwzględnić.
- Zmiana uczyniła to znacznie jaśniejszym! Ale jest jeszcze jedna rzecz, która mnie niepokoi …Kiedy zapisujesz liczbę fotonów na sekundę w małym zakresie częstotliwości, jak to uzyskujesz? Wydaje mi się, że ' nie myślę o tym pomyśle. To jedyna wątpliwość, jaką naprawdę miałem. Od początku wiem, że powinienem integrować jakąś funkcję przez $ \ nu $, ale nie mogłem się tam dostać. Ten kluczowy krok naprawdę mnie niepokoi, brzmi bardzo prosto do przodu, ale wydaje mi się, że ' brakuje mi kroku.