Maksymalna proca grawitacyjna

Można uzyskać oszacowanie rzędu wielkości maksymalna prędkość osiągana przez procy grawitacyjne bez wykonywania prawdziwych obliczeń.

Rozumowanie „surowej fizyki” jest następujące:

Pole grawitacyjne planet używanych do procy musi być wystarczająco silne, aby „złapać” pędzący statek kosmiczny. Ponieważ planeta nie może „złapać” statku kosmicznego poruszającego się z prędkością większą niż prędkość ucieczki planety, niemożliwe jest wyrzucenie statku kosmicznego do prędkości przekraczających prędkości planetarnej ucieczki.

Więc nieważne, jak często nasze Słońce planety układu ustawiają się w jednej linii i bez względu na to, jak często udaje Ci się wykonać idealną procę grawitacyjną, praktycznie jesteś ograniczony do prędkości nie przekraczających w przybliżeniu maksymalnej prędkości ucieczki w Układzie Słonecznym (tj. 80 km / s lub 0,027% prędkości światła , prędkość ucieczki Jowisza).

(Uwaga: pracując z dobrze zdefiniowanymi trajektoriami można udoskonalić powyższy argument i uzyskać poprawne wszystkie współczynniki liczbowe.)

Komentarze

• Muszę się z tobą nie zgodzić. Gdybyś napotkał ciało niebieskie pod odpowiednim kątem, nadal byłbyś w stanie uzyskać jego prędkość orbitalną raz, gdy miałbyś ekscentryczność 1,4142, co oznacza, że przekracza prędkość ucieczki. A może masz na myśli hiperboliczną nadmierną prędkość równą prędkości ucieczki (co oznaczałoby mimośrodowość równą 3), ale nadal pozwoliłoby to na uzyskanie około 40% prędkości orbity. Zmniejsza się, ale myślę, że nadal ma znaczenie.
• @fibonatic – Czy spierasz się o czynniki 1,4 $ w oszacowaniu rzędu wielkości?
• 1,4 nie jest o rząd wielkości niższe albo.

Im szybciej jedziesz, tym mniejszą prędkość teoretycznie możesz uzyskać dzięki wspomaganiu grawitacyjnemu.

Powód jest taki, że im szybciej jedziesz, tym trudniej jest zakrzywić orbitę. Aby to udowodnić, musimy użyć aproksymacji stożków połatanych , co oznacza, że w sferze orbity Keplera . Sferę można uprościć, aby była nieskończenie duża, ponieważ nie będzie to miało wpływu na zginanie rzeczywistego połatanego stożka. Podczas gdy mimośrodowość jest mała (równa lub większa niż jeden, ponieważ będzie to trajektoria ucieczki), trajektoria będzie mogła zostać zgięta o 360 °, skutecznie odwracając względną prędkość statku kosmicznego z ciałem niebieskim, więc zmiana prędkość byłaby dwa razy większa niż prędkość względna, która jest również teoretycznym maksymalnym wzmocnieniem. Wraz ze wzrostem mimośrodu kąt ten maleje. Kąt ten można wyprowadzić z następującego równania:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

gdzie $ r $ to odległość od statku kosmicznego do środka masy ciała niebieskiego, $ a $ to półoś wielka, $ e $ to ekscentryczność, a $ \ theta $ to prawdziwa anomalia.Półoś wielka i mimośrodowość powinny pozostać stałe podczas trajektorii, więc promień byłby jedynie funkcją prawdziwej anomalii, która z definicji jest równa zeru w perycentrum, a zatem maksymalna wielkość zgięcia będzie mniej więcej dwa razy większa od prawdziwej anomalii przy $ r = \ infty $, co oznacza

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Gdy mimośrodowość stanie się naprawdę duża, ten kąt stanie się 180 °, co oznacza, że trajektoria jest w zasadzie linią prostą.

Istnieje wiele sposobów zmiany mimośrodu. W tym przypadku odpowiednimi zmiennymi byłyby:

• hiperboliczna nadmierna prędkość , $ v_ \ infty $, która będzie równa do prędkości względnej, z jaką statek kosmiczny „napotyka” ciało niebieskie, mam na myśli to, że kula ciał niebieskich jest bardzo mała w porównaniu do skali orbit ciał niebieskich wokół Słońca, zatem prędkość względna może być przybliżona różnicą prędkości orbitalnej względem Słońca, przybliżona orbitą Keplera podczas spotkania między nimi przy użyciu trajektorii z pominięciem interakcji między nimi.
• Wysokość perycentrum , $ r_p $, które jest zasadniczo ograniczone promieniem ciała niebieskiego (powierzchni lub atmosfery zewnętrznej).
• parametr grawitacyjny ciała niebieskiego, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

Parametr grawitacyjny jest po prostu dany dla as specyficzne ciało niebieskie, ponieważ niższa ekscentryczność jest pożądana, dlatego perycentrum powinno być ustawione na jego dolną granicę, promień ciała niebieskiego. W ten sposób mimośrodowość jest jedynie funkcją hiperbolicznej nadwyżki prędkości, a tym samym względnej prędkości statku kosmicznego z ciałem niebieskim.

Używając trochę więcej matematyki, można pokazać, jaka byłaby zmiana prędkości po taka bliska pomoc grawitacji. W tym celu używam układu współrzędnych z wektorem jednostkowym równoległym do kierunku względnej prędkości spotkania, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $, i prostopadłym wektorem jednostkowym $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ right) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Podczas kreślenia tych wartości dla Ziemi, więc $ \ mu = 3.986004 \ times 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ and $ r_p = 6,381 \ times 10 ^ { 6} m $ (użyłem promienia równikowego plus wysokość, na której można pominąć wpływ atmosferyczny, 300 km), otrzymamy następujące wyniki:

Jeśli chcesz t jak największej możliwej prędkości, to chcesz, aby ta zmiana prędkości była zgodna z kierunkiem twojej prędkości wokół Słońca. Jeśli masz wystarczająco dużo czasu, a orbita jest na tyle ekscentryczna, że przecina wiele orbit ciał niebieskich, istnieje wiele możliwości, ale gdy tylko uzyskasz trajektorię ucieczki od słońca, w zasadzie mijasz każde ciało niebieskie więcej czas.

Jeśli chcesz uzyskać jak największą prędkość, możesz zbliżyć się do Słońca na bardzo ekscentrycznej orbicie, ponieważ jej „powierzchnia” prędkość ucieczki wynosi 617,7 USD \ frac {km} {s} $.

Komentarze

• Cześć Fibonatic, dziękuję za odpowiedź . Zaktualizowałem pytanie o dodatkowe dane, ponieważ rozumiem, że do obliczenia potrzebujesz tylko promienia planety, wagi i prędkości początkowej, jeśli potrzebujesz więcej danych, daj mi znać, że otrzymam je za Ciebie.
• Więc maksymalna proca grawitacyjna, jaką moglibyśmy uzyskać, wyniosłaby 0,002 prędkości światła google.co.uk/… , co by nas zajęło 2000 lat, aby dostać się do Alpha Centauri google.co.uk/… Dzięki za świetną odpowiedź.
• @MatasVaitkevicius Nie, ponieważ przy 0,002 ° C w pobliżu powierzchni Słońca miałbyś prędkość zerową nieskończenie daleko od Słońca, lub gdy minąłbyś orbitę Neptuna, zostałbyś spowolniony do 7,7 km / s.

Wszyscy zbyt intensywnie o tym myślicie. Efekt procy polega na układzie odniesienia. W stosunku do ciała, do którego się zbliżasz, wzrost prędkości wlotowej musi równać się zmniejszeniu prędkości wylotowej lub łamiesz proste prawa fizyki (tj. Grawitację). Z perspektywy układu słonecznego uzyskasz wzrost prędkości netto, jeśli zbliżysz się do planety z właściwego kierunku, w przeciwnym razie prędkość netto spadnie po wyjściu.Teoretyczny maksymalny wzrost prędkości przy wyjściu jest zatem funkcją prędkości ciała hosta (procy) w układzie odniesienia i wektora podejścia.