Mam problem z modelem Ho-Lee dla krótkich stawek i rozróżnianiem między sposobem znalezienia wartości wolnego parametru λ a użyciem model do przewidywania przyszłych stóp.
Model Ho-Lee dla każdego kroku w drzewie dwumianowym: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Czytałem, że aby ustawić dowolny parametr na każdym kroku w rekombinowanym drzewie dwumianowym, należy ustawić kurs w stanie 0 na bieżący kurs spot (tj.: 1-miesięczny kurs spot) i znaleźć wartość lambda, która po podłączeniu do modelu da bieżący kurs spot dla następnego kroku czasowego (np .: zaczynając od 1-miesięcznego kursu spot w stanie 0 i używając 1-miesięcznego kroku czasowego, prawidłowa wartość lambda po podłączeniu do modelu da aktualny 2-miesięczny kurs spot itp.).
To mnie dezorientuje. Po określeniu wartości lambda dla każdego kroku w moim drzewie, jakie dane wejściowe mam zmienić, aby używać modelu z moim koszem drzewo omialne do przewidywania kursów kontraktów terminowych… tj .: stopa miesięczna za miesiąc, za dwa miesiące itd.?
Na wypadek, gdyby mój opis nie był jasny, oto wyjątek z książki Brucea Tuckmana na temat temat.
… znajdź λ1 tak, aby model generował dwumiesięczny kurs kasowy równy kursowi rynkowemu. Następnie znajdź λ2 tak, aby model dawał trzymiesięczny kurs kasowy równy rynkowi. Kontynuuj w ten sposób, aż drzewo się skończy.
Odpowiedź
Wiesz że model Ho-Lee jest reprezentowany przez stochastyczne równania różniczkowe \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} W celu implementacji naszego drzewa dwumianowego używamy dyskretyzacji Eulera. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} gdzie $ Z $ to standardowa normalna zmienna losowa. Niech $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ i rozwiń równanie w czasie dyskretnym \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Ta relacja pokazuje, że stopa krótka jest sumą zbioru niestochastycznych terminów dryfujących i zestawu terminów losowych Cena obligacji zerowych kuponowych bez arbitrażu $ P (t, t + \ Delta t) $ zostanie podana jako
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Na przykład obliczenie ceny obligacji w czasie $ n = 2 $, daje nam: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} innymi słowy \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} W tym przypadku $ r_t $ ma rozkład normalny, więc \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Ale \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Można go przepisać jako: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} then \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Relacja ta daje niezbędne rekurencyjne relacje do rozwinięcia modelu Ho-Lee no arbitrażu dla krótkich stóp. Przyjmujemy zestaw cen obligacji i strukturę zmienności jako dane wejściowe dla krótkich stóp. Dlatego otrzymujemy równanie ewolucyjne opisujące drzewo dwumianowe modelu.
Komentarze
- Dziękuję za odpowiedź, chociaż ' s powyżej mojego poziomu zrozumienia. Mówiąc najprościej, rozumiem, że celem tego modelu jest modelowanie przyszłych stawek. Czytałem ', że ustawiliśmy dowolne parametry na każdym kroku w drzewie tak, że model wypluwa aktualne kursy spot. Jeśli dzięki temu wiemy, że model jest skalibrowany, jakie dane wejściowe bym zmienił, aby móc go używać do modelowania przyszłych stawek?