Szukam prostego wyjaśnienia konsekwencji posiadania homotycznych / niehometetycznych preferencji w stosunku do preferencji konsumentów podczas konsumpcji towarów.
Komentarze
- Krzywa oferowanego dochodu jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy preferencje konsumentów są homotyczne.
Odpowiedź
Z matematycznego punktu widzenia, jeśli funkcja $ f (x, y) $ jest jednorodna ( dowolnego stopnia) i $ g ( ) $ to funkcja, której pierwsza pochodna jest wszędzie różna od zera, a następnie funkcja
$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$
jest homotetyczny. W ekonomii zwykle narzucamy coś bardziej restrykcyjnego, a mianowicie $ g „> 0 $. Ale to sprawia, że funkcja homotetyczna jest monotoniczną transformacją funkcji jednorodnej. Otóż, funkcje jednorodne są ścisłym podzbiorem funkcji homotetycznych: nie wszystkie funkcje homotetyczne są jednorodne.
Dlatego nie wszystkie przekształcenia monotoniczne zachowują właściwość jednorodności funkcji użyteczności . Najprostszym przykładem jest narzędzie Cobba-Douglasa. Jest jednorodny w stopniu pierwszym. W porządkowym schemacie użyteczności nie przeszkadzają nam transformacje monotoniczne, więc możemy wziąć pod uwagę jego logarytm naturalny. Dobrze, ale logarytm naturalny nie zachowa jednorodności. Niemniej jednak będzie to homotetyczne.
Fundamentalną własnością funkcji homotetycznej jest to, że jej ścieżka ekspansji jest liniowa (jest to również właściwość funkcji jednorodnych i na szczęście okazuje się ona własnością bardziej ogólnej klasy funkcji homotetycznych).
W teorii konsumpcji oznacza to, że utrzymując ceny lub stosunek cen na stałym poziomie, jeśli zmienimy dochód konsumenta, w płaszczyźnie $ (x, y) $ punkt styczności ograniczenia dochodu z najwyższa możliwa krzywa obojętności zawsze będzie odzwierciedlać stały stosunek x / y $. To z kolei implikuje, że wydatki na każde dobro rosną w tym samym tempie co dochód, a zatem udziały w wydatkach pozostają stałe dla całego zakresu dochodów (zawsze dla danego stosunku ceny). Choć może to brzmieć restrykcyjnie, w rzeczywistości zostało wykazane, że homotetyczne preferencje nie nakładają żadnych specjalnych ograniczeń na zagregowany popyt (zasadniczo ze względu na to, że wektor wyposażenia jest arbitralny i niezależny od preferencji, co psuje lub uwalnia).
Komentarze
- Świetna odpowiedź. Czy możesz rozszerzyć swoje ostatnie zdanie, w którym wspomina się, że homotetyczne preferencje nie nakładają żadnych specjalnych ograniczeń na AD. Mając niewielką wiedzę na ten temat, wydaje mi się, że założenie homotetycznych preferencji jest sprzeczne z empirycznymi dowodami ' prawa Engela lub że dochodowa elastyczność popytu jest różna dla różnych towarów. Pomijając te dowody, czy nie ' nie wpłynęlibyśmy na jakąkolwiek rozsądną konstrukcję AD?
- @StatsScared Thanks. Wysłałeś pytanie w tej sprawie Economics.stackexchange.com/q/10629/61 , które już przyniosło interesujące odpowiedzi. Jeśli mam coś do dodania, opublikuję to tam.