Jaka jest najbardziej ogólna postać równania falowego? Czy to jest $ \ frac {\ Partial ^ 2 \ Psi} {\ Part t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Na przykład, czy $ \ frac {\ częściowe ^ 2 \ Psi} {\ częściowe t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ być równaniem falowym? Jeśli tak, jakie jest rozwiązanie w takim przypadku.
Odpowiedź
Nie wiem, co masz na myśli, mówiąc o $ cte $ , ale zakładam, że jest to jakaś stała, ale mogę błędnie interpretować
Często mówimy o dwóch klasach równań różniczkowych, jednorodnych i niejednorodnych. To rozróżnienie jest źródłem twojego pytania, \ begin {equation } \ frac {1} {v ^ 2} (\ części_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {equation} jest jednorodna postać równania falowego, podczas gdy \ begin {equation} \ frac {1} {v ^ 2} (\ części_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {equation} to niejednorodne równanie fali ($ u (\ vec {r}, t) $ może być również stałe, jeśli chcemy). Jednym z przykładów jest to, że promieniowaniem elektromagnetycznym w obecności ładunków i prądów rządzi niejednorodne równanie falowe, jednorodna forma jest ważna tylko wtedy, gdy $ \ rho = 0 $ i $ \ vec {J} = 0 $. W zależności od tego, kogo zapytasz, myślę, że większość ludzi nadal powiedziałaby, że nie równanie falowe jest równaniem falowym, ale to zależy od gustu, ponieważ jego rozwiązania mogą w końcu mieć zupełnie inny charakter niż jednorodne.
Ogólnie niewiele mogę powiedzieć o tych rozwiązaniach, ponieważ „będą one w dużym stopniu zależeć od postaci $ u $, chociaż jestem pewien, że niektóre wyszukiwania w Google podają wiele przykładów.
Komentarze
- Idealnie. A co z równaniem fali tłumionej? Jaka jest jego forma?
Odpowiedź
Mason poradził sobie z rozróżnieniem między niejednorodnymi i jednorodnymi równaniami różniczkowymi, ale jeśli jedno mówi o najbardziej ogólnej możliwej postaci równania falowego, to jest:
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
gdzie oba pola mają rangę $ (m, n) $ tensorów, na które działa operator Laplacea-Beltramiego $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ którego działanie na tensory zależy zarówno od metryki, jak i od ich rangi. W przypadku pola skalarnego z metryką $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ redukuje się ono do najbardziej znanej postaci równania falowego, $ (\ częściowe ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Powyższe można również przełożyć na język form różnicowych.)
Jednak w pewien sposób nie obejmuje to wszystkich możliwości. Na przykład, w ogólnej teorii względności, dla perturbacji $ h_ {ab} $ metryki pierwsza zmiana rzędu krzywizny to:
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ kwadrat h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
, który w literaturze jest rozumiany jako „operator falowy” w przestrzeni zakrzywionej, ponieważ z pewnością dopuszcza rozwiązania falowe, ale wyraźnie nie jest równoważny powyższemu równaniu falowemu, ponieważ zawiera inne terminy obejmujące tensory krzywizny. Tak więc „najbardziej ogólna postać” równania falowego nie jest czymś, co naprawdę moglibyśmy zapisać, chyba że twój pomysł na to jest ściśle $ (\ częściowy ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
