Najlepszy sposób nauki trygonometrii

Szkice Schauma są ogólnie bardzo praktyczne i tanie. Dobrze nadają się dla starszych uczniów. Często odpowiedzi są tuż po problemach w porównaniu z końcem. I otrzymujesz wszystkie odpowiedzi, a nie nieparzyste / parzyste gypsy. Dlatego nadaje się do samodzielnego uczenia się.

Podoba mi się to, ogólnie i posiadam: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Pochodzi z 1960 roku, więc język nie jest archaiczny, ale tak nie jest „Nowy”. Nie jestem pewien, jakie korzyści płyną z nowszych wersji innych niż język, który chcesz, ale jeśli chcesz nowszą wersję, możesz zamiast tego uzyskać ostatnią czwartą edycję College Math.

Uwaga, to jest ogólny kalkulator wstępny książka (i prawdopodobnie to, czego potrzebujesz). Ale jeśli chcesz tylko elementarz trygonometryczny, Schaum też to ma. Oczywiście więcej problemów z trygonią w książce Trig niż w książce precalc (która obejmuje wszystkie normalne kursy w liceum).

Ps. łatwiej byłoby ci doradzić, gdybyś powiedział nam, które książki cię zawiodły. Na przykład napisałem długą odpowiedź na próżno?

Pss Nie jestem pewien, dlaczego trygonometr jest tak wielką przeszkodą dla ludzi. Ale radzę najpierw pomyśleć o grzechu i cos i tym podobnych w kontekście koła jednostkowego, a nie stosunków boków trójkątów. To tylko trochę prostsza koncepcja i bez współczynnika do śledzenia.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn sprawia, że jest to trochę bardziej złożone, mówiąc o stosunkach. Ale kiedy się tego nauczyłem, dużą korzyścią było pierwsze wprowadzenie bez stosunków … tylko osie X i Y koła jednostkowego.

Komentarze

• Dziękuję za odpowiedź! A ty ' masz rację, powinienem był wspomnieć, jakie książki. 3 książki to Trygonometria, 5. wydanie, Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies autorstwa Mary Sterling oraz College Trigonometry autorstwa Stitz and Zeager, 2013. I ' będę zaczynał prekalk na uniwersytecie, gdy lato się skończy i ' na pewno ' szybko polubię trygon. Mam tylko nadzieję, że wystarczająco się nauczę w międzyczasie, więc kończę pierwszy kurs bez zbyt wielu nierówności na drodze.
• Upewnij się, że rozwiązujesz wiele problemów. Możesz mieć wrażenie, że ” I ' nie rozumiem „. Ale jeśli będziesz pracować z dużą liczbą problemów, po prostu zostaną one wyryte w twojej głowie. A problemy z pracą oznaczają rozwiązanie problemu, rozwiązywanie problemu przez cały czas. Sprawdzam Twoją odpowiedź. Powtarzanie (całkowicie) wszystkich pominiętych od zera problemów (nawet w przypadku głupich błędów ze znakami). Potraktuj to jak trening fizyczny lub naukę gry na instrumencie muzycznym. Bądź sumienny.
• @RustyCore Dla jasności ' przenoszę się z lokalnej uczelni. To, co ukończyłem na studiach, było niezwiązane z matematyką i miałem bardzo mało wymagań matematycznych, stąd moje pierwsze zajęcia z matematyki na uniwersytecie to precalc.
• @guest, rozumiem. Ale myślę, że Rusty był arogancki i niegrzeczny. ' W pełni zdaję sobie sprawę, że zdobycie tego stopnia będzie prawdopodobnie najtrudniejszym i najbardziej stresującym okresem w moim życiu, ale nie ' nie chcę zamknąć się przed tym tylko dlatego, że ' mam problemy z jednym tematem. Większość ludzi rzuca palenie i mówi, że ' po prostu nie są osobami matematycznymi, kiedy napotykają przeszkodę na drodze i natychmiast odcinają się od dalszej matematyki lub podstaw, które potrzebują odświeżenia. ' Próbuję tego uniknąć, ponieważ robiłem dokładnie to samo w poprzednich latach.
• @Lex_i, brzmisz jak dojrzały student, a mam wielu uczniów jak ty, który celujesz. Mam nadzieję, że przygody z matematyką przyniosą Ci radość.

Może podejście wizualne mogłoby uzupełnić twoją naukę? W sieci dostępnych jest wiele takich zasobów, a nie w podręcznikach. Np. Uruchom intuicyjnie :

---

         
          ^{Uwaga: etykiety pokazują, gdzie każdy element „przechodzi do . ”}

---

Kolejny: Interactive Unit Circle . Kolejny: Odwrotne funkcje wyzwalania .

Komentarze

• it ' to przydatny diagram. Dodałbym zastrzeżenie, że używa się koncepcji podobnych trójkątów, aby uniknąć nieporozumień.
• Myślę, że diagram byłby bardziej pomocny, gdyby pokazywał kąt i funkcje wszystkich funkcji . Wygląda na to, że ' został zaprojektowany do zapamiętywania tego, co już wiesz, a nie do uczenia trygonometrii od zera.
• @JessicaB: Po pierwsze, to nie jest mój diagram: -). Po drugie, istnieje narracja, która się z tym zgadza; nie jest przeznaczony do samodzielnego działania. Po trzecie, uważam, że warto na przykład zobaczyć, że $ \ sin \ le \ tan $ i $ \ sec \ ge \ tan $ i $ \ tan $ mogą być nieograniczone itp.
• @ JessicaB: PS. Kąt to kąt w środku okręgu, który to okrąg jest niestety prawie niewidoczny na moim zdjęciu.
• @JosephO ' Rourke Wiem, że nie ' t narysuj to. Wiem teraz, że kąt jest tym w środku, ponieważ znam tryg. Ale kiedy pierwszy raz go spotkałem, byłem bardzo zdezorientowany, ponieważ nie ' nie uchwyciłem związku z kątem.

Osobiście wolałbym, aby zalecenie podręcznika, które mogę pobrać lub odebrać, [najlepiej] nie jest stare i takie nie czynić trygonometrii zastraszającym podejściem (szczególnie takim, które kładzie nacisk na zrozumienie dowodów stojących za właściwościami / twierdzeniami).

Nie mam podręczników do polecania, ale nie mogę zaproponuj podejście do zrobienia trygonometrii, które ułatwi jego matematyczne zrozumienie poprzez skrystalizowanie logiczna podstawa trygonometrii i algebraiczna struktura wyrażeń trygonometrycznych. dwa „poziomy”, w zależności od tego, czy chcesz od razu przejść do kompletu ex numery lub pozostać w prawdziwej trygonometrii. W obu przypadkach skupiamy się na zidentyfikowaniu wewnętrznego rdzenia trygonometrii i zredukowaniu wszystkiego innego do tego.

---

Rzeczywista trygonometria

Kluczowe wielkości to $ \ cos (t) $ i $ \ sin (t) $ , czyli $ x $ i $ y $ współrzędne punktu $ P_t $ na okręgu jednostkowym leżącym naprzeciw łuku długości $ t $ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od osi $ x $ , jak pokazano na obrazku z wikipedii :

Tutaj długość łuku jest mierzona wzdłuż okręgu jednostkowego, a $ π $ jest zdefiniowane jako długość łuku półkola, więc $ 2π $ wynosi 360 $ ° $ . (Ten sposób mierzenia kątów jest często nazywany mierzeniem ich w ” radianach „, ale osobiście uważam, że jest to niepotrzebny termin). Uwaga że $ P_t = P_ {t + 2πk} $ dla dowolnej liczby całkowitej $ k $ , ponieważ $ 2πk $ będzie całkowitą wielokrotnością pełnych rund. Zwróć również uwagę, że zwiększenie $ t $ przesuwa $ P_t $ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a zmniejszanie $ t $ przesuwa $ P_t $ zgodnie z ruchem wskazówek zegara. W związku z tym $ P _ {- t} $ jest odzwierciedleniem $ P_t $ w $ x $ -axis.

Zwróć uwagę, że znaki $ \ cos (t) $ i $ \ sin (t) $ odpowiadają dokładnie znakom $ x $ i $ y $ współrzędne punktu na okręgu. (Nie słuchaj ludzi, którzy każą ci coś zapamiętać, aby określić, który z nich jest dodatni w którym kwadrancie).

I po prostu z definicji $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ za każdy prawdziwy $ t $ . To jest pierwszy kluczowy fakt algebraiczny .

Następnie $ \ tan (t) $ jest zdefiniowane jako $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (W przeszłości zdefiniowaliśmy również $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ i $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ i $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , ale szczerze mówiąc, posiadanie ich tak wielu, gdy wystarczy samo $ \ cos, \ sin $ , nie przynosi wiele korzyści.) Zawsze, gdy chcesz uprościć dowolne wyrażenie trygonometryczne obejmujące $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , prawdopodobnie powinieneś wykonać standardową technikę matematyczną przepisanie w formie kanonicznej , co w tym przypadku oznacza przepisanie tylko w kategoriach $ \ cos, \ sin $ , podczas gdy biorąc pod uwagę, gdzie oryginalne wyrażenie nie jest zdefiniowane (na przykład $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ dla dowolnego rzeczywistego $ t $ tylko wtedy, gdy $ t $ nie jest wielokrotnością $ π $ ).

inne kluczowe fakty algebraiczne wynikają z rozważenia macierzy rotacji zastosowanych do wektorów. (Jeśli nie znasz macierzy jako operatorów na wektorach, najpierw przeczytaj to . Wprowadzenie do wektorów w przestrzeni euklidesowej można znaleźć pod adresem tutaj .) Niech $ R $ będzie jakimkolwiek obrotem wokół początku płaszczyzny. Wtedy $ R $ spełnia trzy właściwości:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ dla dowolnych wektorów $ u, v $ (tj. Sumowanie dwóch wektorów i obracanie wyniku daje to samo, co obracanie dwa wektory przed zsumowaniem).
2. Jeśli $ R, S $ są obrotami kątów w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $ t, u $ , a następnie $ R∘S $ to obrót kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $ t + u $ .
3. Jeśli $ R $ to obrót kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $ t $ , a następnie:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ dla dowolnego rzeczywistego $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ dla dowolnego rzeczywistego $ y $ .

Możemy przyjąć te własności jako aksjomaty (założenie) dotyczące obrotów. W końcu, gdyby $ R $ ich nie spełniał, nie nazywalibyśmy $ R $ rotacją do zaczynać się. Aby zobaczyć dlaczego, właściwość (1) oddaje intuicję, że obracanie dwóch połączonych prętów spowoduje obrót obu prętów o kąt obrotu, zachowując jednocześnie miejsce ich połączenia. Właściwość (2) jest potrzebna tylko w połączeniu z właściwością (3). Właściwość (3a) wynika z definicji $ \ cos, \ sin $ , a właściwość (3b) wynika z tej samej definicji po obróceniu 90 ° $ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Właściwości (1) i (3) dają macierzową postać obrotu dwuwymiarowego:

Jeśli $ R $ to obrót kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara $ t $ , następnie $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Następnie używając właściwości (2) get:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t, u $ .

Mnożenie iloczynu macierzy po prawej stronie i porównanie z macierzą po lewej natychmiast daje kąt- suma tożsamości:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t, u $ .

Ilekroć chcesz uprościć wyrażenia obejmujące funkcje trygonometryczne na sumach kąty, powinieneś rozważyć użycie tych tożsamości, aby zmniejszyć wyrażenie, aby było zgodne z $ \ cos, \ sin $ z jak najmniejszej liczby kątów.

W rzeczywistości wszystkie i trygonometryczne Zależności obejmujące tylko operacje arytmetyczne i funkcje trygonometryczne można udowodnić przy użyciu powyższych definicji i kluczowych faktów algebraicznych. Co ciekawe, nawet właściwości symetrii można udowodnić algebraicznie w następujący sposób.

Biorąc pod uwagę dowolny prawdziwy $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [suma-kątowa]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [suma-kątowa]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Przechodząc do prawdziwej analizy, potrzebowalibyśmy następujących faktów, które na razie można potraktować jako aksjomaty (i oddzielnie uzasadnić później):

1. $ \ sin „= \ cos $ .
2. $ \ cos „= – \ sin $ .

Jak poprzednio, wszystko ok n zredukować do tych, więc nie ma potrzeby zapamiętywania czegokolwiek więcej (nawet jeśli może to być wygodne).

---

Złożona trygonometria

Osobiście, Myślę, że najlepiej jest przejść bezpośrednio do funkcji trygonometrycznych o wartościach zespolonych, jeśli chce się mieć kompletną i rygorystyczną podstawę dla pola matematycznego analizy . Po prostu definiuje się: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ za każdy złożony $ z $ (po udowodnienie, że suma jest zbieżna).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ jest dwukrotnością pierwszego dodatniego pierwiastka z $ \ cos $ ( po udowodnieniu, że istnieje).

Motywacją jest to, że chcemy $ \ exp: \ cc → \ cc $ takie, że $ \ exp „= \ exp $ i $ \ exp (0) = 1 $ , aby móc rozwiązywać ogólne liniowe równania różniczkowe i chcemy, aby $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ było takie, że $ \ cos „” = – \ cos $ i $ \ sin „” = – \ sin $ i $ ⟨\ cos (0), \ cos „(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ i $ ⟨\ sin (0 ), \ sin „(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , aby móc rozwiązać prosty ruch harmoniczny, i rozwinięcie Taylora prowadzi nas do powyższych definicji $ \ exp, \ cos, \ sin $ , które możemy udowodnić, że zbiegają się na całej złożonej płaszczyźnie. Powyższa definicja $ π $ jest najłatwiejszą, jaką znam, która nie zależy od żadnej geometrii. (Więcej szczegółów na temat tej motywacji można znaleźć w tym poście ).

Wystarczy powiedzieć, że przy tych definicjach możemy udowodnić za pomocą podstawowej analizy że $ \ exp, \ cos, \ sin $ spełnia wymagane właściwości motywujące, a także inną właściwość klucza z $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ dla dowolnego złożonego $ z, w $ .

Używając tej właściwości, możemy udowodnić wszystkie tożsamości trygonometryczne jedynie poprzez manipulację algebraiczną (i zachowują one dla zmiennych złożonych, a nie tylko rzeczywiste zmienne).

Na przykład, biorąc pod uwagę dowolną złożoną $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Mimo to często łatwiej jest najpierw udowodnić te same kluczowe fakty algebraiczne dla $ \ cos, \ sin $ , a następnie użyć ich do udowodnienia innych tożsamości, niż zredukować wszystko do $ \ exp $ .

Komentarze

• W przypadku dalszych zapytań matematycznych zapraszamy do ten pokój rozmów .

Zrób Saylor Academy lub edX masz coś, co ci pomoże? Obie są bezpłatnymi platformami z kursami matematycznymi. Akademia Saylor używa prawie wyłącznie podręczników – dzięki nim można uzyskać zaliczenie. Modernstates.org również może Ci pomóc – ma własny kurs z filmami, które go nauczają. Rootmath też może być dobrym źródłem. Czy planujesz uzyskać zaliczenie tego kursu przez Clep?