Dostałem zadanie domowe, w którym musieliśmy obliczyć czas, w którym spadający obiekt osiągnie określoną prędkość przy uwzględnieniu siły oporu. Zrobiłem to, ustawiając przyspieszenie jako funkcję prędkości i całkując (było to równanie różniczkowe).
Jednak jest to wstępny kurs fizyki, bez znajomości rachunku różniczkowego wymaganego. Ściśle mówiąc, nie robiliśmy jeszcze nawet pochodnych. Miałem szczęście, że wcześniej zdałem rachunek różniczkowy, więc w stanie rozpoznać i rozwiązać równanie różniczkowe.
Kiedy zapytałem kolegów z klasy, jak to zrobili, powiedzieli, że bawili się liczbami, dopóki nie znaleźli czegoś, co działało (było online bez odejmowanych punktów za błędne odpowiedzi W przypadku większości z nich po prostu podzielili prędkość końcową przez przyspieszenie grawitacyjne, co nie ma sensu, ponieważ nie pytaliśmy nawet o czas potrzebny do osiągnięcia prędkości końcowej, ale 63% z tego. Ta metoda po prostu zaokrągliła do tej samej liczby, co poprawna.
Moje pytanie brzmi: czy istnieje sposób na znalezienie tej wartości za pomocą fizyki elementarnej, czy też mój profesor dał nam niesprawiedliwy problem? Asystenci nie mieli żadnej pomocy, a ja mam zajęcia w godzinach jej pracy.
Samo pytanie jest następujące:
prędkość końcowa kropli 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg wynosi około 9 m / s. Przyjmując siłę oporu $ F_D = −bv $, określ czas potrzebny do osiągnięcia przez taką kroplę, zaczynając od spoczynku, do 63 % prędkości terminala.
Komentarze
- Ponieważ odpowiedź zawiera wykładniczy / logarytm w jedną stronę albo inny, należałoby opracować jakieś rozwiązanie obejmujące wykładniczy / logarytm. Wybierz swoją truciznę … Mam przeczucie, że ' będzie jakimś przybliżeniem rachunku różniczkowego.
- Myślę, że rozwiązanie oparte na logarytmach byłoby uczciwą grą. ' powinniśmy to wiedzieć. Problem polega na tym, że mogę ' t dla mojego życia wymyśl jakikolwiek sposób na zrobienie tego, który nie ' t wymaga równania różniczkowego. t ' s, ponieważ ' zwykłem robić problemy w ten sposób po zrobieniu rachunku różniczkowego. Gdyby ktoś mógł wymyślić inną metodę, byłoby to bardzo wdzięczne.
- Prawdopodobnie ' ma związek z tym, że 63% to 1 $ – e ^ {- 1} $
Odpowiedź
Jeśli siła oporu jest modelowana jako liniowa funkcja prędkości $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, to problem jest prosty . Równowaga sił pionowych dla spadającej kropli wynosi $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$, co daje następujące równanie różniczkowe dla prędkości: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ W granicznym przypadku maksymalnej prędkości / zerowego przyspieszenia $ (\ dot {v} = 0) $, równowaga sił upraszcza się do $$ mg = bv_ {max} , $$ lub $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Wracając do naszego równania różniczkowego, jeśli prędkość początkowa $ v (0) = 0 $, to rozwiązanie ten ODE wynosi $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Poprzez zdefiniowanie stałej czasowej jako $ \ tau = \ frac { m} {b} $ i używając definicji prędkości końcowej, ewolucja prędkości w czasie upraszcza się do $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ Pozycję, jeśli trzeba, można łatwo znaleźć, wykonując kolejną integrację: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Zakładając, że pozycja początkowa $ y (0) = 0 $ i upraszczając, rozwiązanie dla pozycji pionowej to $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Mamy więc teraz rozwiązania analityczne dla przyspieszenia, prędkości i położenia spadającego obiektu w funkcji czasu i parametrów systemu, z których wszystkie są znane ( z wyjątkiem $ b $). Należy jednak pamiętać, że żądany czas osiągnięcia prędkości 0,63 $ v_ {max} $ nie jest arbitralny. Po upływie jednej stałej czasowej otrzymamy $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63,212 \%}. $$ W związku z tym musimy po prostu obliczyć wartość stałej czasowej, a wynikowa wartość będzie Twoją odpowiedzią. Jeśli chodzi o twoich kolegów z klasy, nie mylą się. Naszym celem jest obliczenie $ \ tau $, a jeśli przyjrzysz się uważnie naszej wcześniejszej matematyce, zobaczysz, że $ \ tau $ rzeczywiście równa się prędkości końcowej podzielonej przez $ g $. Wykresy oktawowe funkcji pozycji, prędkości i przyspieszenia są podane poniżej w celach informacyjnych (zamień $ k $ na $ b $ na drugim wykresie).
Komentarze
- Tak, nigdy nas tego nie nauczono równanie, z którym się łączyłeś. Ale dzięki, to jest dokładnie to, czego szukałem.Chciałem tylko wiedzieć, czy istnieje bardziej ogólna metoda rozwiązania tego pytania, którą powinniśmy być w stanie rozwiązać, i wygląda na to, że odpowiedź brzmi nie.
- @JakeChristensen Nadal może być inny sposób na znalezienie odpowiedzi, ale pamiętaj, że Calculus (przynajmniej Newton ' s Calculus) został wynaleziony do rozwiązywania problemów fizyki 😉
Odpowiedź
Zwykle przeciąganie jest proporcjonalne do kwadratu prędkości, a zatem przyspieszenie w dół wynosi
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Rozwiązaniem takiego ruchu jest $$ \ begin {aligned} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {aligned} $$
Więc podłącz prędkość $ v $ , na którą chcesz kierować, a otrzymasz odległość $ x $ i $ t $ , aby do niego dotrzeć.
PS. Jeśli nie znasz parametru przeciągania $ \ beta $ , ale zamiast tego znasz prędkość maksymalną, możesz oszacować ją na podstawie prędkości maksymalnej, rozwiązując $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Odpowiedź
1) Znajdź siłę oporu przy prędkości końcowej. 2) Pomnóż tę siłę przez 0,63 (63%) 3) Podziel tę nową siłę przez masę kropli deszczu 4) Użyj czasu przyspieszenia prędkości równanie kinematyki do rozwiązania dla czasu $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Komentarze
- To nie jest ' poprawne. Zakładasz, że przyspieszenie jest stałe (co wyraźnie nie dotyczy żadnej kwestii związanej ze zmianą prędkości i oporu powietrza) . ' m zakładam, że $ a (t) $ oznacza $ a * t $, ponieważ jeśli masz na myśli $ a $ jako funkcję $ t $, to nie ma sensu wszystko.