Ogólna reguła kolejności filtrów

Moją ulubioną " zasadą kciuka " dla kolejności dolnoprzepustowego filtru FIR jest " fred harris reguła kciuka ":

$$ N = \ frac {f_s} {\ Delta f} \ cdot \ frac {\ rm atten_ {dB}} {22} $$

gdzie

• $ \ Delta f $ to pasmo przejściowe, w tych samych jednostkach co $ f_s $
• $ f_s $ to częstotliwość próbkowania filtra
• $ \ rm atten_ {dB} $ jest docelowym tłumieniem w dB

Na przykład, jeśli masz pasmo przejściowe 100 Hz w systemie próbkowanym z częstotliwością 1 kHz, a wymaganie odrzucenia wynosi 50 dB w paśmie zatrzymania, wówczas kolejność można określić w przybliżeniu:

$$ N = \ frac {1 \ \ rm kHz} {100 \ \ rm Hz} \ cdot \ frac {50} {22} = 23 \ \ rm taps \ tag {rounding up} $$

Dziękuję Fred Harris!

Zwróć uwagę na inny, bardziej szczegółowy wzór uwzględniający pasmo przepustowe ripple jest formułą Kaisera dzięki Jamesowi Kaiserowi z Bell Labs, który umieściłem na poniższej ilustracji.

W przypadku większości wykonanych przeze mnie aplikacji podejście Freda Harrisa było w porządku, z pewnym odrzuceniem , otrzymane filtry wykorzystujące tradycyjne algorytmy projektowania filtrów, takie jak Parks-McClellan i Remez, przekroczyły moje wymagania dotyczące tętnienia pasma przepustowego po spełnieniu wymogu odrzucenia. (Zwykle szacuję kolejność, projektuję filtr z taką kolejnością, sprawdzam wynik i zwiększam lub zmniejszam kolejność w celu dostrojenia). Wyniki szacunków są po prostu następujące: szacunki i mogą się znacznie różnić w zależności od ogólnych parametrów projektu i nie należy ich uważać za dokładne rozwiązanie.

Osoby zaznajomione z projektowaniem filtrów przy użyciu podejść do okien mogą zapoznać się z pudełkiem lub prostokątnym oknem (co jest prostym obcięciem) ujawnia, dlaczego potrzeba $ f_s / \ Delta f $ stuknięć (czyli tego samego co $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ , jeśli jednostkami znormalizowanej częstotliwości są radiany / próbka, jak to się często robi), aby wypełnić pasmo przejściowe. Zobacz poniższe obrazy, które pomogą to wyjaśnić.

Górny obraz poniżej przedstawia oczekiwaną częstotliwość Sinc dla prostokątnego okna w czasie, w tym przypadku jako prostokątny impuls bez przyczyny wyśrodkowany na $ t = 0 $ . Jest to następnie powtarzane w dyskretnych formach jako przebieg przyczynowy zaczynający się od $ t = 0 $ , zarówno z dyskretną transformacją Fouriera w czasie (DTFT), jak i dyskretną transformacją Fouriera (DFT) gdzie różnica polega na tym, że próbki w czasie rozciągają się do $ \ pm \ infty $ dla DTFT, co skutkuje ciągłym przebiegiem w dziedzinie częstotliwości. W obu przypadkach wynikiem jest aliasowana funkcja Sinc, która działa okresowo w przedziale $ f = [0, f_s) $ , z kluczowym punktem dla $ N $ próbek w czasie funkcji prostokątnej, odpowiedź częstotliwościowa będzie miała swoją pierwszą wartość zerową w $ f = 1 / N $ (Gdzie $ f $ to znormalizowana częstotliwość, gdzie 1 to częstotliwość próbkowania).

Następny obrazek poniżej przedstawia podejście prostokątnego okna do projektowania filtra (którego nigdy nie polecałbym, ale ma charakter informacyjny). Pierwszy wykres w lewym górnym rogu przedstawia docelową charakterystykę częstotliwościową naszego filtra jako idealną odpowiedź " ściany z cegły ". Proszę nie mylić tego z " oknem wagonu " (lub " prostokątnym oknem "), który również ma kształt prostokąta – okno jest w dziedzinie czasu!

Aby zrealizować taki filtr, użylibyśmy odpowiedzi impulsowej żądanej odpowiedzi częstotliwościowej jako współczynników w naszym filtrze FIR (współczynniki filtru są odpowiedzią impulsową — wstaw impuls i wychodzą wszystkie współczynniki!). Odpowiedź impulsowa dla odpowiedzi częstotliwościowej prostokątnej (mur ceglany) to odwrotna wartość FT, która jest funkcją Sinc w dziedzinie czasu, pokazana w lewym dolnym rogu jako " Wymagana odpowiedź impulsowa ". Funkcja Sinc rozciąga się na plus i minus nieskończoność, więc aby faktycznie zrealizować taki filtr, potrzebowalibyśmy nieskończenie długiego filtra, który miałby nieskończenie duże opóźnienie. Oczywiście nie możemy tego zrobić, więc skracamy współczynniki do czegoś możliwego do zrealizowania. Im dłuższy filtr, tym bliżej przybliżamy idealną odpowiedź muru, ale także tym dłuższe będzie opóźnienie (i tym więcej zasobów będziemy potrzebować pod względem konstrukcja filtra; więcej zaczepów).

Obcinanie odpowiedzi impulsowej w dziedzinie czasu jest matematycznie identyczne z mnożeniem przez prostokątne okno w dziedzinie czasu (zwróć uwagę, że odpowiedź impulsowa jest również opóźniona o połowę okna, aby system był przyczynowy). Mnożenie w domenie czasu jest równoważne splotowi w dziedzinie częstotliwości. Domena częstotliwości (FT) odpowiedzi impulsowej przed obcięciem jest naszą pierwotnie pożądaną odpowiedzią częstotliwościową muru. Częstotliwość odpowiedzią dla okna prostokątnego jest funkcja Sinc w dziedzinie częstotliwości.

Więc kiedy skracamy żądaną odpowiedź impulsową (pomnożymy w czasie przez okno prostokątne), splatamy żądaną odpowiedź częstotliwościową e z funkcją Sinc, co daje w przybliżeniu naszą docelową charakterystykę częstotliwościową, jak pokazano w prawym górnym rogu poniższego obrazu.

Zasadniczym wnioskiem dotyczącym funkcji Sinc jest ogólnie rzecz biorąc, że pierwsze zero to 1 $ / T $ , gdzie $ T $ to czas trwania funkcji prostokątnej. W przypadku próbkowanego systemu pierwsza wartość null miałaby wartość $ 2 \ pi / N $ , gdzie $ N $ oznacza liczba próbek w czasie trwania funkcji prostokątnej. Na obrazach dla osi częstotliwości używana jest znormalizowana częstotliwość radianów (jeśli to myli, po prostu wiesz, że $ 2 \ pi $ to częstotliwość w radianach dla częstotliwości próbkowania). Tak więc w procesie splotu ostre przejście ceglanego muru rozprzestrzenia się i w tym przypadku dochodzi do 0 (nasz $ \ Delta \ omega $ ) na częstotliwości 2 $ \ pi / N $ ! Więc tutaj $$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $$ i oczywiście filtr jest słaby z listkami bocznymi itp. Zwróć uwagę na to: To przejście od funkcji Sinc jest najostrzejszym dostępnym dla danej liczby dotknięć; ma najlepszą rozdzielczość częstotliwości, ale najgorszy zakres dynamiki (tłumienie). Inne typologie okien (Blackman, Blackman-harris, Kaiser (moje ulubione) itp.) Znacznie poprawią zakres dynamiki, ale zawsze kosztem przejścia.

Zatem z powyższego widzimy pochodzenie $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ , który jest używany we wzorach aproksymacyjnych, a także widzimy, dlaczego istnieje dodatkowy mnożnik zwiększający liczbę dotknięć powyżej tego dla typowych projektów filtrów; prostokątne okno dałoby nam najlepsze możliwe przejście dzięki $ N $ dotknięciom, gdzie $ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $ , ale mają bardzo słabe odrzucanie. Więcej dotknięć jest używanych, aby wygładzić przejście czasowe dalej niż ostre przejście prostokątnego okna, zapewniając większe odrzucenie kosztem przepustowości przejścia.

Komentarze

• Aby uniknąć nieporozumień, formuła, którą nazywasz " Kaiser ' s formuła " to właściwie wzór na optymalne filtry Parks McClellan (rzeczywiście znalezione przez Kaisera), ale nie na metodę okna Kaisera. Ten ostatni nie ' nie ma dwóch różnych wartości $ \ delta $, ale tylko jedną.
• Rzeczywiście, dobre wyjaśnienie Matt, ponieważ istnieje metoda okna Kaisera. Ta formuła jest jednak nazywana " Kaiser ' s Formuła " w tagu literatura, aby czytelnicy nie ' myśleli, że to mój własny sposób użycia tego terminu. engold.ui.ac.ir/~sabahi/Advanced%20digital%20communication/…
• Świetnie!Wygląda na to, że pochodzi ze strony 48 w książce Freda Harrisa ': " Multirate Signal Processing for Communication Systems "?
• Praktyczna reguła czy zdjęcia? Zdjęcia są moje z klasy, którą prowadzę. Nie ' nie mam książki Freda ', ale jestem wielkim fanem i przedstawiono mi jego " praktyczna zasada " przez niego podczas prezentacji DSP World, którą odbył około 1996 roku (zwróć uwagę, że nalega, aby jego nazwisko było pisane małymi literami).
• @DanBoschen Czy wzór dla Parks McClellan jest również ważny przy projektowaniu filtrów pasmowoprzepustowych FIR? Jeśli nie, czy istnieje inna " zasada ", którą można zastosować?

Długość filtru FIR lub kolejność filtru IIR jest z grubsza odwrotnie proporcjonalna do stosunku szerokości pasma przejścia (najwęższy , jeśli wiele) do częstotliwości próbkowania, inne rzeczy są w pewnym stopniu równoważne, z wyjątkiem bardzo krótkich lub bardzo niskich filtrów.

Komentarze

• nie wiem dlaczego ktoś przegłosował. Poprawiłem to z powrotem do zera.
• inne rzeczy są w pewnym stopniu równoważne?
• Tętnienie pasma przepustowego i tłumienie pasma zatrzymania to także inne główne czynniki wpływające na długość filtra.