Operator spinu QM można wyrazić za pomocą macierzy gamma i próbuję wykonać ćwiczenie, w którym udowodnię tożsamość używająca $ \ gamma ^ 5 $ i $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
W mojej pierwszej próbie zrobiłem to bezpośrednio w reprezentacji Diraca, ale w ćwiczeniu stwierdzono, że nie mogę tego zrobić, czy ktoś może doradzić? Czy jest jakaś tożsamość lub sztuczka, która pozwoliłaby mi to zrobić?
Aby wyjaśnić, $ \ alpha $ to następująca macierz, w której niezerowymi elementami są macierze Pauliego:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
gdzie
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Komentarze
- Czym są $ \ alpha $ i $ {\ bf S} $ w sposób wyraźny?
- Alfa to macierz, której wpisy nie znajdują się na wiodącej przekątnej, to macierze Pauliego, ale nie wiesz, jak to pomaga.
- W jaki sposób oczekujesz, że pomożemy Ci udowodnić tożsamość bez jasnej definicji wszystkich symboli?
- @Hollis Z pewnością możesz przynajmniej powiedzieć, co ma oznaczać $ \ alpha $. To ' nie jest standardową notacją, jak macierze gamma.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ jest tak samo standardowe jak macierze $ \ gamma $. Większość standardowych książek o fizyce wprowadza $ \ mathbf {\ alpha} $ jeszcze przed matrycami $ \ gamma $.
Odpowiedź
Przestrzegam konwencji Wikipedii z następującymi definicjami $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ gdzie $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Powiedziawszy to, odnotowujemy teraz $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Wyraźnie, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Następnie $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Zatem $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$