Czy można zastosować prawo elektromagnetyzmu Gaussa (Przepływ elektryczny netto przez każdą zamkniętą powierzchnię jest równy 1⁄ \ epsilon $ razy ładunek elektryczny netto zawarty w tej powierzchni.) w celu obliczenia pola grawitacyjnego w punkcie, dokonując pewnych zmian, tj. zastępując strumień elektryczny strumieniem grawitacyjnym, 1⁄ \ epsilon $ z 1 / (4 \ pi \, G) $ i obciążać masą?
Komentarze
- Patrz np. Wikipedia .
Odpowiedź
Tak, możesz użyć prawa Gaussa dla grawitacji.
$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$
lub
$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$
gdzie $ \ vec {g} $ jest polem grawitacyjnym (odpowiednikiem przyspieszenia ze względu na grawitację), $ \ rho $ jest gęstością masy, a $ M_ \ mathrm {enc} $ jest całkowitą masą zawartą w powierzchni Gaussa.
Kiedy robisz porównanie n zgodnie z prawem Gaussa dotyczącym pól elektrycznych, możesz zobaczyć, jak stałe działają w następujący sposób:
$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$
więc $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.
Jednym z powszechnych zastosowań prawa Gaussa dla grawitacji jest określenie natężenia pola grawitacyjnego na danej głębokości wewnątrz Ziemi. Jest to bardzo podobne do obliczenia pola elektrycznego wewnątrz naładowanej, izolującej kuli.
Komentarze
- W moim oryginalnym poście zepsułem stałe … naprawiono
- Rzeczywiście, ścisłe dopasowanie między przepływem pola w traktowaniu Einsteina ' do Newtona ' s dla sferycznie symetrycznego słabego pola można zademonstrować za pomocą tego ' podejścia Gaussa.
Odpowiedź
Prawo Gaussa dla grawitacji zasadniczo mówi, że całkowity strumień grawitacyjny emanujący ze sfery otaczającej Ziemię wynosi 4 $ \ pi GM $ .
Teraz podziel to przez całkowitą powierzchnię kuli $ 4 \ pi R ^ 2 $ przez $ R $ promień Ziemi.
W rezultacie $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ daje strumień grawitacyjny gęstość. Jeśli obliczysz wynik liczbowy, otrzymasz 9,81 $ \ mathrm {m / s ^ 2} $ .