Podczas wyprowadzania pola magnetycznego z przewodu przewodzącego prąd, jeśli wybieramy okrągłą pętlę Amperian, możemy stwierdzić:
$$ \ oint \ vec B \ \ cdot d \ vec s = \ mu_0 \ I $$
Ale ze względu na symetria pętli amperiańskiej i fakt, że ścieżka jest pokonywana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, możemy stwierdzić:
$$ \ oint B \ ds = \ mu_0 \ I $$
$$ B \ oint ds = \ mu_0 \ I $$
Jednak nie jest dla mnie oczywiste, że pole magnetyczne jest równoległe do $ d \ vec s $ we wszystkich ciągłych sumowaniach. Jeśli $ d \ vec s $ wskazuje nieskończenie małe wzdłuż pętli Ampera z każdym przyrostem, oznacza to, że pole magnetyczne w każdym punkcie będzie musiało wskazywać dokładnie w tym samym kierunku.
Wiem, że pole magnetyczne wokół drutu wiruje wokół niego, więc posiadanie okrągłej pętli amperowskiej może to osiągnąć, ale:
Powiedzmy, że narysowaliśmy pętlę amperian o dowolnym promieniu. Skąd wiemy, że będzie to zgodne z pętlą pola magnetycznego przewodu przewodzącego prąd, tak że $ d \ vec B $ i $ d \ vec S $ będą nadal równoległe?
Być może jest to możliwe, ale mogę lub nie rozumiem dlaczego. Jeśli to „dlatego”, zilustruję dlaczego, używając (słabo) narysowanej grafiki, którą właśnie wykonałem:
Gdzie czerwone kółka to linie stałego natężenia pola magnetycznego, a czarne kółko to pętla Ampera. Podczas przechodzenia przez pętlę, z każdym elementem ścieżki $ d \ vec S $, znajdującym się na pewnej wartości $ \ theta $ wokół pętli, wektory pola magnetycznego wszystkich pierścieni natężenia pola magnetycznego będą do nich równoległe, ponieważ pętla Ampera jest koło. To wyjaśniałoby potrzebę pętli Amperian wyrównanej w ten sposób w celu rozwiązania problemu.
Jeśli tak nie jest, wyjaśnij, co jest. Jeśli to ma jakiś sens , kilka pytań:
-
Co się stanie, jeśli nie użyjemy okrągłej pętli amperowskiej? Czy moglibyśmy dokładnie znaleźć pole magnetyczne? Wydawałoby się dziwne, gdybyśmy musieli wybrać właściwy kształt pętli
-
Skąd mam wiedzieć, że $ d \ vec B $ w mojej grafice nie jest ” t we wszystkich punktach będzie antyrównoległy do $ d \ vec S $, a nie równoległy?
Odpowiedź
Fajne w prawie Ampera jest to, że nie ma znaczenia, jaki jest kształt pętli: zachowa się, nawet jeśli wybierzesz zabawny kształt pętla (lub jeśli twoje pole magnetyczne jest bardziej skomplikowane). To może sprawić, że integracja będzie niemożliwie trudna do wykonania, ale nie zmienia faktu, że podane prawo jest poprawne dla każdej pętli, którą można narysować. Uproszczenie, które wprowadziłeś było możliwe, ponieważ wykorzystałeś symetrię w tej konkretnej konfiguracji . W większości realistycznych sytuacji nie można dokonać takiego dokładnie poprawnego uproszczenia. Może być wymagane przybliżenie lub inne podejście.
Jeśli pole magnetyczne przeciwstawia się sensowi, w jakim przechodzisz przez pętlę, całka da wynik ujemny. Oznacza to, że prąd jest ujemny (płynie w przeciwnym kierunku).
Komentarze
- Tutaj chodzi o odzyskanie magnetycznego pole, którego nie można zrobić z zabawną pętlą, w której prąd nie jest stały.
Odpowiedź
W przypadku nieskończonego drutu wiemy, że pole magnetyczne jest wszędzie wokół obwodu. Innym sposobem spojrzenia na to jest zobaczenie go jako r symetria otokowa na obwodzie drutu. Z tego wiemy, że pole zmienia się tylko wraz ze zmianą odległości od przewodu i nas niezależnie od położenia kątowego wokół pętli.
Z tego powodu wygodnie jest wybrać kołową pętlę amperianową, ponieważ pole jest stałe w każdym punkcie, więc możemy wyciągnąć B poza całkę na LHS.
Teraz prawo Ampera jest zawsze prawdziwe, niezależnie od kształtu wybranej pętli. Ale jeśli pole zmienia się wokół pętli, musimy faktycznie obliczyć całkę po linii, co oznacza, że nie możemy go łatwo użyć jako narzędzie do znajdowania B.
Podobnie jak prawo Gaussa, jest to bardzo potężne narzędzie, ale przydatne tylko do łatwego znalezienia pola, jeśli mamy jakiś rodzaj symetrii.