Co to jest prosty, szczery opis interakcji wymiany między dwoma elektronami?
Na przykład wydaje mi się, że jedyny niezbędne składniki to interakcja Coulomba i wymóg, aby całkowita funkcja falowa była antysymetryczna.
Komentarze
- Twoja intuicja jest poprawna. Matematyczny opis tego, w jaki sposób te dwa składniki współdziałają, tworząc interakcje wymiany, można znaleźć w Ashcroft & Mermin (rozdział 32) [to dość standardowe obliczenie, a ja ' na pewno pojawia się także w wielu innych miejscach]
- Jest również w podręczniku Griffiths intro kwantowym. Gdzieś.
- Nie ma to nic wspólnego z siłą Coulomba, byłaby również interakcja wymiany między dwoma nienaładowanymi, ale nierozróżnialnymi bozonami.
Odpowiedź
Interakcja wymiany to dodatek do innych interakcji między identycznymi cząstkami spowodowanych symetrią permutacji.
To dodanie jest wynikiem specyficznej formy wielocząsteczkowej funkcja falowa. Nie wnosi wkładu do hamiltonianu w przeciwieństwie do „zwykłych” interakcji, ale pojawia się jako dodatkowy termin w równaniach funkcji falowych pojedynczych cząstek (np. Równanie Hartree-Focka).
Interakcja zwykle związana energią i siłami. Moglibyśmy znaleźć korektę wymiany jako siłę dodaną do sił Coulomba, ale najpierw powinniśmy zrozumieć, czym jest siła w układzie kwantowym.
Rozważmy dwa fermiony z funkcjami falowymi o współrzędnych pojedynczej cząstki $ \ psi_a ( x) $ i $ \ psi_b (x) $ oraz funkcje fal spinowych $ \ phi_a (s) $ i $ \ phi_b (s) $. Możliwe dwucząstkowe funkcje falowe to singlet z symetryczną częścią współrzędnych $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ i triplet ze współrzędną antysymetryczną część $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$
Niech dwucząstkowy hamiltonian nie zależy od obrotów: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ wtedy średnia energia interakcji wyniesie: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
Wyrażenie $ U_ \ text {ex} $ nie jest zerem tylko wtedy, gdy cząsteczki są wystarczająco blisko siebie i ich funkcje falowe nakładają się (patrz rysunek poniżej). W klasycznym limicie, gdy odległość $ L $ jest duża, nakładanie się wynosi zero i $ U_S = U_A = U $
Załóżmy, że $ \ psi_a $ i $ \ psi_b $ są nieujemne wszędzie, anv $ V $ działa jak interakcja kulombowska (tj. dodatnia i maleje wraz ze wzrostem odległości). Następnie $ U $ i $ U_ \ text { ex} $ są dodatnie, a energia symetrycznego stanu współrzędnych (przeciwległe kolce) jest wyższa niż energia antysymetrycznego stanu współrzędnych (podobne kolce). Jeśli średnie położenia cząstek są stałe, interakcja wymiany spowoduje, że spiny będą w tym samym kierunku.
Siłę oddziaływania między cząstkami można zdefiniować jako uogólnioną siłę odpowiadającą parametrowi L: $$ F = – \ frac {\ częściowe U} {\ częściowe L} $$ W ramach naszych założeń dotyczących $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ i $ V $ pochodne zarówno $ U $, jak i $ U_ \ text {ex} $ są ujemne. Stąd „zwykła” siła jest dodatnia (odpychanie), a siła wymiany jest dodatnia dla współrzędnej symetrycznej s tate i ujemne dla antysymetrycznego stanu współrzędnych (przyciągania).
Zatem interakcja wymiany dla przypadku dwóch cząstki można uznać za dodatkową siłę w zależności od konfiguracji spinu. W przypadku wielu cząstek jest to bardziej skomplikowane.
Komentarze
- Cześć, jak zrozumieć efektywną siłę interakcji wymiany dla Fermiona jest atrakcyjne? Bardzo sprzeczne z intuicją.