Problem
Załóżmy, że $ Y \ sim \ text {N} (\ text {mean} = \ mu, \ text {Var} = \ frac {1} {\ tau}) $.
Na podstawie próbki uzyskaj późniejsze rozkłady $ \ mu $ i $ \ tau $ za pomocą próbnika Gibbsa.
Notacja
$ \ mu $ = średnia populacji
$ \ tau $ = dokładność populacji (1 / wariancja )
$ n $ = wielkość próbki
$ \ bar {y} $ = średnia próbki
$ s ^ 2 $ = wariancja próbki
Gibbs sampler
[ Casella, G. & George, EI (1992). Wyjaśnienie samplera Gibbsa. The American Statistician, 46, 167–174. ]
W iteracji $ i $ ($ i = 1, \ dots, N $ ):
- sample $ \ mu ^ {(i)} $ from $ f (\ mu \, | \, \ tau ^ {(i – 1)}, \ text {data} ) $ (patrz poniżej)
- próbka $ \ tau ^ {(i)} $ from $ f (\ tau \, | \, \ mu ^ {(i)}, \ text {data}) $ (patrz poniżej)
Teoria zapewnia, że po dostatecznie dużej liczbie iteracji $ T $, zbiór $ \ {( \ mu ^ {(𝑖)}, \ tau ^ {(𝑖)}): i = T + 1, \ dots, 𝑁 \} $ można postrzegać jako próbkę losową ze wspólnej późniejszej dystrybucji.
Priors
$ f (\ mu, \ tau) = f (\ mu) \ razy f (\ tau) $, gdzie
$ f (\ mu) \ propto 1 $
$ f (\ tau) \ propto \ tau ^ {- 1} $
Warunkowe późniejsze dla średniej, z uwzględnieniem precyzji $$ (\ mu \, | \, \ tau, \ text {data}) \ sim \ text {N} \ Big (\ bar {y}, \ frac {1} {n \ tau} \ Big) $$
Warunkowa późniejsza precyzja , biorąc pod uwagę średnią $$ (\ tau \, | \, \ mu, \ text {data}) \ sim \ text {Gam} \ Big (\ frac {n} {2}, \ frac {2} {(n-1) s ^ 2 + n (\ mu – \ bar {y}) ^ 2} \ Big) $$
(szybkie) Implementacja R
# summary statistics of sample n <- 30 ybar <- 15 s2 <- 3 # sample from the joint posterior (mu, tau | data) mu <- rep(NA, 11000) tau <- rep(NA, 11000) T <- 1000 # burnin tau[1] <- 1 # initialisation for(i in 2:11000) { mu[i] <- rnorm(n = 1, mean = ybar, sd = sqrt(1 / (n * tau[i - 1]))) tau[i] <- rgamma(n = 1, shape = n / 2, scale = 2 / ((n - 1) * s2 + n * (mu[i] - ybar)^2)) } mu <- mu[-(1:T)] # remove burnin tau <- tau[-(1:T)] # remove burnin
$$
hist(mu) hist(tau)
Komentarze