Przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu i Marsie

Niech ” zobacz, jak przyspieszenie spowodowane grawitacją uzyskuje się dla dowolnej planety, a następnie możemy zastosować to do Ziemi lub Księżyca, lub cokolwiek zechcemy.

Prawo grawitacji Newtona mówi nam, że wielkość siła grawitacyjna między obiektami o masach $ m_1 $ i $ m_2 $ jest określona przez \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} gdzie $ r $ jest odległością między środki masy. Teraz załóżmy, że obiekt 1 jest planetą o masie $ m_1 = M $ i promieniu $ R $, a obiekt 2 jest znacznie mniejszym obiektem o masie $ m_2 = m $ położonym na wysokości $ h $ nad powierzchnią planety to jest małe w porównaniu z promieniem planety. Wielkość siły grawitacji między dwoma obiektami będzie wynosić \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} z drugiej strony, mówi Drugie Prawo Newtona nas, że przyspieszenie obiektu 2 spełni \ begin {align} F = ma \ end {align} Połączenie tych faktów, mianowicie ustawienie równych prawych boków, powoduje, że masa $ m $ wypadnie z równań, a przyspieszenie ze względu na grawitację obiektu o masie $ m $ staje się \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} gdzie w drugiej równości wykonałem rozwinięcie odpowiedzi Taylora w postaci małej liczby $ h / R $. Zauważ, że do zera porządek, a mianowicie dominujący udział, gdy obiekt 2 znajduje się blisko powierzchni planety, jest jakąś stałą niezależną od wysokości i zależną tylko od masy i promienia planety; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} To jest dokładnie to, co zwykle nazywamy przyspieszeniem ziemskim w pobliżu powierzchni planety. Jeśli podłączysz liczby do Earth, otrzymasz \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ około 9,8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} i I ” Pozostawiam wam określenie liczby innych planet. Ważną właściwością tego przyspieszenia spowodowanego grawitacją jest to, że skaluje się ono liniowo z masą $ M $ planety i skaluje się jak ujemna druga potęga promienia planeta.

Komentarze

• Myślę, że warto również wspomnieć o wpływie siły odśrodkowej, związanej z prędkością kątową ciała niebieskiego. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Innym skutkiem tego jest to, że samo ciało wybrzusza się wokół równika, zwiększając promień powierzchni w pobliżu równika (obniżając się w pobliżu biegunów).

Stała przyspieszenia grawitacyjnego zdefiniowana jako $ g $ dla ziemi zależy od masy ziemi i odległości od niej. Wzór is $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Patrz Newtons L aw Universal Gravitation , aby uzyskać więcej szczegółów). Tak więc $ g $ nie jest stałą nawet na Ziemi, ale zależy od wysokości, choć raczej wolno. Jeśli jesteś na Księżycu, masa Księżyca $ (~ 10 ^ {22} kg) $ jest mniejsza niż masa Ziemi $ (~ 10 ^ {24} kg) $, a zatem siła grawitacji, którą czułbyś, $ mg $ byłoby znacznie mniejsze, ponieważ $ g $ jest mniejsze, około 1,62 $ m / s ^ 2 $.

Ponadto jednostki $ g $ to $ m / s ^ 2 $ a nie $ N / s ^ 2 $

Łatwym sposobem przemyślenia tego jest rozważenie, że przyspieszenie grawitacji na powierzchni, powiedzmy, ciała planetarnego zależy zasadniczo od dwóch wielkości: masy ciała i promienia .

Przyspieszenie powierzchniowe rośnie wraz z masą ciała (jeśli podwoisz masę, podwoisz przyspieszenie) i maleje wraz z kwadratem promienia (jeśli podwoisz promień, przyspieszenie zostanie podzielone na ćwiartki).

Na przykład promień Księżyca jest około 0,273 razy większy od promienia Ziemi, ale masa Księżyca wynosi około 0,0123 masy Ziemi. Tak więc spodziewalibyśmy się, że przyspieszenie na powierzchni Księżyca będzie wynosić

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

i oczywiście grawitacja powierzchniowa Księżyca wynosi około 1,62 $ \ frac {m} {s ^ 2} $

Jeśli więc znasz masę i promień, powiedzmy, Marsa, możesz określić grawitację powierzchniową Marsa w następujący sposób:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $