Na zdjęciu Heisenberga (używając wymiarów naturalnych): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Jeśli hamiltonian jest niezależny od czasu, możemy wziąć pochodną cząstkową obu stron w odniesieniu do czasu: $$ \ części_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ części_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Dlatego $$ \ Partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ Partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$, ale nie jest to odpowiednik liczby podręczników na liście jako równanie ruchu Heisenberga. Zamiast tego stwierdzają, że $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ części_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Dlaczego, ogólnie rzecz biorąc, jest to prawda, a nie poprzednie stwierdzenie? Czy jestem pedantyczny przy używaniu pochodnych częściowych i całkowitych?
Komentarze
- Dlaczego zastosowałeś pochodne częściowe? W formalizmie Heisenberga stanowe zestawy są ustalone w czasie, a operatorzy zmieniają się w czasie. Więc możesz wziąć pochodną czasu całkowitego operatora na LHS.
- Przepraszam, że ' nie rozumiem tam twojej logiki. Tutaj $ O_s $ może zmieniać się w czasie, podobnie jak $ O_H $, ale jest bardzo jasne, że na LHS istnieje pochodna całkowitego czasu z $ O_H $, a po prawej stronie pojawia się częściowa pochodna czasowa pochodna . Dlaczego nie ' nie są one pochodnymi cząstkowymi w czasie?
- @ I.E.P. W równ. (2), po lewej stronie, dlaczego nie ' t it $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, Po lewej stronie należy użyć $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, a całkowitą pochodną można wyrazić jako sumę pochodnych cząstkowych.
- @IEP Myślę, że tutaj brakuje matematycznej różnicy pochodnej całkowitej i pochodnej częściowej. Po lewej stronie $ O_H $ jako funkcja $ t $, stąd pochodna całkowita, po prawej $ O_H $ jako funkcja złożona poprzez relację (1), stąd pochodna cząstkowa dla każdej funkcji składowej.
Odpowiedź
Dzięki pewnym definicjom wyjaśniającym zależności czasowe równanie (4) może być zrozumiałe. Weźmy co następuje:
Niech $ O_s $ będzie operatorem zależnym od czasu i innych parametrów $ O_s: \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, gdzie $ S $ jest przestrzenią pozostałych parametrów, a $ \ mathrm {Op} $ jest przestrzenią operatorów w przestrzeni Hilberta. Niech $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ oznacza ewolucję operatorów w czasie na obrazie Heisenberga, podaną przez $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Zauważ, że $ (\ part_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ i $ \ części_O \ phi = \ phi $ (ponieważ $ \ phi $ jest liniowe w $ O $). Teraz, mając parametr $ p \ w S $ możemy zdefiniować funkcję czasu: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ with $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Nasza funkcja $ O_H $ jest jednoparametrowy jeden, więc warto wziąć tylko jego całkowitą pochodną: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ części_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ części_O \ phi) _t \ left [(\ części_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ częściowe_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ części_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
gdzie w pierwszym kroku zastosowałem regułę łańcucha, aw pozostałych równości, które już mieliśmy.
Odpowiedź
Nie, nie jesteś „tylko” pedantyczny z niewłaściwym użyciem pochodnych cząstkowych: twoje równania (2) i (3) są całkowicie błędne. Po prostu nie zastosowałeś definicji poprawnie, jak podkreśla @WeinEld. (Mogłeś oszczędzić sobie żalu, jeśli zilustrowałeś swoje pytanie dla prostego systemu, takiego jak SHO).
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ więc dla $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ gdzie $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ i podobnie dla p .
Pochodna czasowa $ O_H $ składa się z pochodnej cząstkowej wrt t po średniku, plus pochodna konwekcyjna ze względu na przepływ x i p na obrazku Heisenberga, $$ \ frac {\ częściowe O_H} {\ częściowe x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ częściowe O_H} {\ częściowe p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Udowodnij to! Jeśli tego nie zrobiłeś, cała dyskusja jest parą.)
Pochodna cząstkowa to $$ \ frac {\ częściowe O_H} {\ part t} = e ^ {iHt} \ frac {\ częściowe O_S} {\ częściowe t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ częściowe O_S} {\ częściowe t} \ right) _H. $$ (Niektórzy wyrażają to jako $ \ frac {\ częściowe O_H} {\ częściowe t} $, ufając, że czytelnik właściwie zrozumie oczywiste rozróżnienie tylko argumentu po średniku, ale to samo pytanie może sprawić, że pomyśl dwa razy . Teraz, dla pewności, skoro $ O_S $ ma znikającą pochodną konwekcyjną, $ dO_S / dt = \ częściowe O_S / \ częściowe t $, jak wspomniano w komentarzu, więc to nie jest problem.)
W każdym razie, połączenie tych dwóch części razem tworzy konwencjonalne $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ części_tO_s) _H. $$
Monitoruj oczywiste zachowanie prostej obserwowalnej, takiej jak $ O_S = tx $ w SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, słynna sztywna klasyczna rotacja w przestrzeni fazowej, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; a zatem $ O_H = tx (t) $. Stąd $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: teraz doceń skuteczność i różnice odpowiednich obrazów. (Na przykład $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ z fizycznym „zwyczajowym unikaniem notacji mapy ad matematyka”.)
Możesz znaleźć swoje położenie, myślenie o obrazie S jako o ramie eulera, a obrazie o obrazie H jako o lagranżowskim, zbliżającym się kadrze.