Więc w $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ mamy iloczyn wewnętrzny Frobeniusa dana przez $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
, co można zinterpretować jako iloczyn euklidesowy na $ {\ bf R} ^ {np } $. Rozumiem, że wszystkie produkty wewnętrzne na $ {\ bf R} ^ {np} $ można zapisać jako $$ a ^ TPb $$ dla $ P $ z określeniem dodatnim. Najlepsze, co mogłem zrobić, próbując rozszerzyć iloczyn skalarny Frobeniusa na $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $, to coś w postaci $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ dla $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $ i $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ wszystkie pełne pozycje. Chciałbym jednak wiedzieć, czy obejmuje to wszystkie produkty wewnętrzne na $ {\ bf R} ^ {np} $, czy może jest to bardziej złożone niż to konieczne z powodu nadmiarowości.
Mogę znaleźć odpowiadająca macierz $ P $ dla dowolnej określonej macierzy iloczyn skalarny poprzez wzięcie standardowej podstawy dla $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ i utworzenie macierzy
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
ale nie wiem, czy ogólna postać iloczynu wewnętrznego macierzy, którą podałem powyżej, obejmuje wszystkie macierze dodatnio określone $ P $.
Aktualizacja:
nowsza wersja tego pytania na MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Komentarze
- Witamy w SciComp.SE! To interesujące pytanie, ale wydaje się bardziej odpowiednie w przypadku math.stackexchange.com . (Chyba że ' jest połączeniem z problemem obliczeniowym, którego ' m brakuje, w takim przypadku ' byłoby wspaniale, gdybyś mógł to dodać.)
- @ChristianClason, to ' związane z optymalizacją rozmaitości macierzowych z metrykami riemannowskimi, ponieważ metryki są iloczynami wewnętrznymi w przestrzeni stycznej. To ' jest prawie na pewno zbyt zaawansowane dla Math.SE, jedynym innym odpowiednim miejscem byłby MathOverflow. Właściwie mogłem znaleźć rozwiązanie, które moim zdaniem jest rozwiązaniem, które mogę opublikować jako odpowiedź, gdy wykonam niechlujną pracę, aby udowodnić, że jest to rozwiązanie, ale jeśli ' chcesz migrować to do MathOverflow. ' zgadzam się. ' dodam kontekst optymalizacji, gdy nadarzy się okazja.
- Macierz $ P $ również musi być symetryczna, a nie tylko dodatnio określona.
- @WolfgangBangerth, pozytywno-określony jest rozumiany jako symetryczny.
- Nie dla wszystkich autorów jednoznaczność pozytywna oznacza symetrię.
Odpowiedź
Iloczyn wewnętrzny można zobaczyć jako operację $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, tj. jest to funkcja dwuliniowa, która (i) zwraca liczbę nieujemną, (ii) spełnia zależność $ f (a, b) = f (b, a) $.
Dla wektorów $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $, wszystkie funkcje dwuliniowe, które spełniają te właściwości, można zapisać jako $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ gdzie $ P $ jest symetryczne i dodatnio określone. Dla macierzy $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ times p} $, wszystkie takie funkcje można zapisać jako $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ gdzie teraz $ P $ jest tensorem rzędu 4, który jest symetryczny w tym sensie, że $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ i określone dodatnio w tym sensie, że $ f (a, a) > 0 $ for all $ a \ neq 0 $.
Twoje pytanie sprowadza się do czy każdy $ P $ spełniający takie warunki może być zapisany w postaci wynikającej z wektorów $ X_i, Y_i $. Wierzę, że odpowiedź na to pytanie brzmi: nie. Dzieje się tak dlatego, że (dla uproszczenia zakładając, że $ n = p $) symetryczny $ P $ ma (asymptotycznie) $ n ^ 4/2 $ stopnie swobody, podczas gdy wektory $ n $ $ X_i, Y_i $ mają tylko $ 2n ^ 2 $ stopnie swobody. Innymi słowy, nie sądzę, aby dla wystarczająco dużych $ n $ Twoje podejście miało wystarczająco wiele stopni swobody.
Komentarze
- I tak naprawdę uważam, że odpowiedź brzmi tak, ' mam zamiar ponownie opublikować to pytanie na temat przepełnienia matematyki z moimi zaktualizowanymi wynikami.
- Tak, argument, że liczba parametrów rośnie kwartalnie w wektorowej przestrzeni iloczynu wewnętrznego, podczas gdy tylko kwadratowo w macierzy przestrzeń iloczynu wewnętrznego jest nieodparta, jednak ponieważ przestrzeń jest ostatecznie skończona, powinniśmy być w stanie to przezwyciężyć, odpowiednio zwiększając $ N $.
- Moje przeprosiny Opublikowałem nowszą wersję tego pytania na MathOverflow, jednak ' jest wystarczająco zaktualizowana. Uważam, że to właściwe. Na wypadek, gdybyś chciał, oto link aby przenieść tam swoją odpowiedź lub zaktualizować ją w oparciu o nowszą wersję. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Pamiętaj, że @ ChristianClason doradził możesz opublikować swoje pytanie na math.stackexchange.com, a nie na mathoverflow.net. To dwie różne strony z różnymi celami i różnymi odbiorcami.
- @FedericoPoloni tak, wiem, a jeśli przeczytasz to, co napisałem, powiedziałem mu, że uważam, że jest zbyt zaawansowana dla Math.SE i raczej nie będzie tam odpowiedź.