Czy ktoś wie, co byłoby $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, gdzie $ t ^ a $ etc to matryce Gell-Mann? Stało się to podczas analizy współczynnika koloru dla efektu Comptona dla QCD. Więc musi być dość powszechne, ale nie mogłem znaleźć odpowiedniego odniesienia. Czy w ogóle istnieje odniesienie do śladu dowolnej liczby macierzy Gella Manna?
Odpowiedź
Biorę SU (N) generatory w reprezentacji podstawowej znormalizowane tak, że $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Komutator dwóch generatorów definiuje stałe struktury $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Antykomutatorem dwóch generatorów jest
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
gdzie $ 1 $ mam na myśli macierz tożsamości, a $ d ^ {abc} $ to „d-symbol” zdefiniowany jako
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Następnie istnieje przydatna tożsamość
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Proponuję to odniesienie http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf , gdzie zbierane są różne identyfikatory śladów. W twoim przypadku spójrz na Równanie 75 w Dodatku B, strona 9.
Sprawdź normalizację generatorów przed użyciem tej tożsamości.
Komentarze
- Z reguły tylko linki do odpowiedzi są aktywnie odradzane, ponieważ jeśli link znika, odpowiedź jest bezużyteczna. Użyj Mathjax, aby edytować w odpowiednich równaniach, aby odpowiedź mogła być samodzielna.
- @Angela Jeśli to odpowiada na Twoje pytanie, oznacz je jako odpowiedź.