Jak napisano po lewej stronie, integracja przez części jest bezużyteczna. Nie masz wyrażeń dla operatorów, więc nie ma powodu. Ale możesz użyć następującego: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align} gdzie użyłem definicji Koniugat hermitian, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ i baza $ | c \ rangle $ wektorów własnych operatora w przestrzeni Hilberta, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
W rzeczywistości nie musisz wybierać podstawy, jak wskazano w Odpowiedź Andrew McAdamsa.
Najłatwiej to udowodnić w notacji matematycznej (w przeciwieństwie do notacji Diraca), gdzie $ (\ cdot, \ cdot) $ jest iloczynem wewnętrznym, a następnie dla wszystkich wektorów $ \ phi $ i $ \ psi $ w przestrzeni Hilberta, a dla operatorów $ A $ i $ B $ mamy \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align}, podczas gdy z drugiej strony \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align}, co oznacza $ B ^ \ dagger A ^ \ dagger = (AB) ^ \ dagger $ zgodnie z życzeniem.
Komentarze