W jaki sposób prędkość dźwięku może rosnąć wraz ze wzrostem temperatury?

Szybkość dźwięku jest określona wzorem:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

gdzie $ P $ to ciśnienie, a $ \ rho $ to gęstość gazu. $ \ gamma $ to stała zwana indeksem adiabatycznym . To równanie zostało najpierw opracowane przez Newtona, a następnie zmodyfikowane przez Laplacea przez wprowadzenie $ \ gamma $ .

Równanie powinno mieć intuicyjny sens. Gęstość jest miarą ciężkości gazu, a ciężkie rzeczy oscylują wolniej. Ciśnienie jest miarą sztywności gazu, a sztywność oscyluje szybciej.

Rozważmy teraz wpływ temperatury. Podczas podgrzewania gazu musisz zdecydować, czy zamierzamy utrzymać stałą objętość i pozwolić, aby ciśnienie wzrosło, lub utrzymać stałe ciśnienie i pozwolić, aby objętość wzrosła, lub coś pomiędzy. Rozważmy możliwości.

Załóżmy, że utrzymujemy stałą objętość, w w takim przypadku ciśnienie wzrośnie, gdy podgrzejemy gaz. Oznacza to, że w równaniu (1) $ P $ rośnie, podczas gdy $ \ rho $ pozostaje stała, więc prędkość dźwięku rośnie. Szybkość dźwięku rośnie, ponieważ skutecznie zwiększamy sztywność gazu.

Teraz przypuśćmy, że utrzymujemy ciśnienie na stałym poziomie i pozwalamy gazowi rozszerzać się w miarę jego podgrzewania. Oznacza to, że w równaniu (1) $ \ rho $ maleje, podczas gdy $ P $ pozostaje stała i znowu prędkość dźwięku wzrasta. Szybkość dźwięku rośnie, ponieważ zmniejszamy gaz, aby oscylował szybciej.

A jeśli wybierzemy średni kurs i pozwolimy, aby ciśnienie i głośność wzrosły, to $ P $ rośnie, a $ \ rho $ maleje i znowu rośnie prędkość dźwięku.

Więc cokolwiek robimy , zwiększenie temperatury zwiększa prędkość dźwięku, ale robi to na różne sposoby, w zależności od tego, jak pozwolimy gazowi rozszerzać się podczas jego podgrzewania.

Tak jak w przypisie, gaz idealny spełnia równanie stan:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

gdzie $ n $ to liczba moli gazu. Gęstość (molowa) $ \ rho $ to po prostu liczba moli na jednostkę objętości, $ \ rho = n / V $ , co oznacza $ n = \ rho V $ . Jeśli podstawimy za $ n $ w równaniu (2) otrzymamy:

$$ PV = \ rho VRT $$

który zmienia się na:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Podstaw to do równania (1), a otrzymamy:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

więc:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

I tu właśnie przyszliśmy. Jednak w tej formie równanie ukrywa, co się naprawdę dzieje, stąd twoje zamieszanie.

Eksperymentalnie, stała proporcjonalności dla powyższego równania wynosi ok. . 20.

Komentarze

• Chciałem tylko poinformować, że Twoja odpowiedź wciąż pomaga ludziom 6 lat później … Ja ' spędziliśmy około godziny, próbując znaleźć intuicyjne wyjaśnienie tego wzoru, a Ty ' podsumowałeś wszystko bardzo dobrze w kilka zdań 🙂

Świetne pytanie. Krótka odpowiedź jest taka, że na twoją intuicję (o gęstych materiałach, które mają szybsze prędkości dźwięku) prawdopodobnie mają wpływ różne materiały w tej samej temperaturze i jest skażona ciałami stałymi, podczas gdy problem tutaj naprawdę dotyczy gazów, które są różne.

Spójrzmy na niektóre dane:

Powietrze jest rzadkie i ma niską prędkość dźwięku wynoszącą 760 mil na godzinę. Cięższe rzeczy, takie jak miedź, są gęste i mają większą prędkość dźwięku.Prędkość dźwięku stali wynosi 10 000 mph !

A więc Twoja intuicja nie jest taka zła, prawda?

A co z zimnym powietrzem w porównaniu z gorącym powietrzem? Zimne powietrze jest gęstsze, ale ma mniejszą prędkość dźwięku! Oto, gdzie możemy zobaczyć twój cudowny paradoks.

Okazuje się, że odpychanie spowodowane zewnętrznymi falami sprężania (tak zwanymi falami mechanicznymi) ciała stałego takiego jak metal jest tworzone z innych mechanizmów niż gaz ściśliwy. Fala ciśnienia w ciele stałym będzie ściskać względnie stacjonarne jony w sieci. Sieć jest bardzo silna, a atomy nie poruszają się, ale mogą wibrować. Jeśli ściśniesz trochę stali, ściśnij tę sieć trochę, ale funkcjonalna zależność pól elektrycznych w tej sieci jest dość złożona. do pytania tutaj, miejmy nadzieję, oczywistym wynikiem jest to, że zależność od temperatury nie będzie zbyt silna, ponieważ funkcja siły (odległości) określa, jak szybko zaburzenie przechodzi przez siatkę, a energia, którą przekazujesz atomom w sieci, wygrywa „Nie zmieniaj zbytnio interesującej tutaj zależności między siatką, odległością i siłą.

Gaz to zupełnie inna bestia, ponieważ wokół latają tylko niezależne cząstki. Tutaj prędkość dźwięku jest w zasadzie średnia ważona szybszych cząsteczek gazu, które oczywiście poruszają się z pierwiastkiem kwadratowym energii / temperatury.

W porównaniu z ciałem stałym, pytanie, jaka jest prędkość dźwięku w gazie jest całkowicie trywialne. Przeczytaj th jest lub to lub aby się zorientować, o ile bardziej złożone są ciała stałe. Gdybym podał fizykom tylko właściwości atomowe (nie takie rzeczy jak moduł masowy) ciała stałego, takiego jak miedź, a także gazu takiego jak O $ _ \ rm 2 $, byliby w stanie obliczyć, przynajmniej za pomocą prostego kalkulatora, prędkość dźwięku w O $ _ \ rm 2 $.

Szybkim sposobem na naprawienie swojej intuicji jest zanotowanie prędkości dźwięku w bryle przy zera absolutnego w porównaniu z gazem. Tylko ta ostatnia wynosi zero. Rzeczywiście, właśnie dlatego gazy nie mogą istnieć w pobliżu zera absolutnego. Cząsteczki w wystarczająco zimnym gazie nie mają nawet wystarczającej energii, aby uciec od siebie, więc zamiast tego muszą być cieczą lub ciałem stałym.

Mam nadzieję, że teraz widzisz, że twoje przeszłe doświadczenia miały zastosowanie tylko dla różnych materiałów, a nie dla poszczególnych materiałów w funkcji temperatury.

W rezultacie fale dźwiękowe rozchodzą się przez medium zderzeń między cząsteczkami. W wyższych temperaturach cząsteczki mają większą energię kinetyczną, a ponieważ poruszają się szybciej, ich zderzenia występują z większą częstotliwością i szybciej przenoszą fale dźwiękowe. Większa energia kinetyczna = mniejsza bezwładność = zwiększona prędkość.

Ponieważ jednak fale dźwiękowe są falami kompresyjnymi przemieszczającymi się przez ośrodek ściśliwy, ich prędkość zależy nie tylko od bezwładności ośrodka, ale także od jego elastyczności.

Generalnie, im bliżej siebie są cząsteczki, tym szybciej będą przenoszą fale dźwiękowe. Chociaż odległość między cząsteczkami ma tendencję do zwiększania się, gdy medium jest podgrzewany, jest to stosunkowo mniej ważne dla prędkości dźwięku w danym medium niż szybszy ruch cząsteczek.

Wyższa temp. implikuje większą prędkość dla cząsteczki, więc zderza się z następną cząsteczką w szybszym czasie, nawet jeśli są daleko od każdej z nich. z drugiej strony niższa temp. oznacza mniejszą prędkość, więc może również zderzać się z najbliższym sąsiadem przez dłuższy czas. merci!

Wiemy, że temperatura i energia kinetyczna są wprost proporcjonalne. Wraz ze wzrostem temperatury wzrasta energia kinetyczna cząsteczek powietrza i cząsteczki poruszają się szybciej. Dzięki czemu propagacja dźwięku odbywa się szybko, zwiększając prędkość.