W tej odpowiedzi Jim Clay pisze:
… wykorzystaj fakt, że $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Powyższe wyrażenie nie różni się zbytnio od $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Próbowałem aby uzyskać późniejsze wyrażenie, używając standardowej definicji transformaty Fouriera $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ ale wszystkie Skończyło się na tym, że wyrażenie tak różni się od tego, na co „najwyraźniej jest odpowiedź”.
Oto moja praca:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Tutaj utknąłem.
Odpowiedź
Twoja praca jest w porządku, z wyjątkiem problemu polegającego na tym, że transformata Fouriera $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ nie istnieje w zwykłe znaczenie funkcji $ f $ i musimy rozszerzyć to pojęcie tak, aby obejmowało tak zwane dystrybucje, impulsy lub delty Diraca, lub (jak my, inżynierowie, mamy zwyczaj wstręt matematyków) funkcje delta . Przeczytaj o warunkach, które muszą być spełnione, aby transformata Fouriera $ X (f) $ sygnału $ x (t) $ istnieć (w zwykłym sensie) i zobaczysz, że $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ nie ma transformacji Fouriera w w zwykłym sensie.
Przechodząc do konkretnego pytania, gdy zrozumiesz, że impulsy są definiowane tylko w kategoriach tego, jak zachowują się jako całki w całce, czyli dla $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ pod warunkiem, że $ g (x) $ jest ciągłe na $ x_0 $, wtedy łatwiej jest wydedukować transformatę Fouriera z $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$, zastanawiając się nad faktem, że $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ i tak musi być, że $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ to odwrotność transformata Fouriera $ \ Displaystyle \ lewo. \ lewo. \ Frac {1} {2} \ prawo [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Odpowiedz
Następnie po prostu użyj tabeli par transformacji Fouriera , aby zobaczyć, że $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ i podstawianie zmiennych ($ f_1 = f + f_0 $ i $ f_2 = f-f_0 $), aby uzyskać to, czego potrzebujesz.
Komentarze
- Co oczywiście nasuwa pytanie, w jaki sposób osoba, która zapisałem w tabeli odpowiedź znajdującą się w tabeli.
- @DilipSarwate 🙂 Teraz ' zadajesz dużo, dużo trudniejsze pytanie. 🙂
- Zobacz moją odpowiedź, aby zobaczyć wersję odpowiedzi na znacznie trudniejsze pytanie, które może przejść zbiórkę na tej wymianie stosu, jeśli nie na matematyce.SE!
- @DilipSarwate: you ' już dostałem +1. Dzięki, dobra odpowiedź. Uzgodniłem matematykę, a kolesie z SE byliby przerażeni. W porządku, ' ponownie inżynierowie. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…