Zagadka żaby – prawdopodobieństwa warunkowe

Spójrzmy na parę żab. Samce żab są identyfikowane po rechotaniu na filmie.

Jak wyjaśniono na filmie, zanim usłyszymy jakiekolwiek rechotanie, istnieją 4 równie prawdopodobne wyniki, biorąc pod uwagę 2 żaby:

• Żaba 1 to Mężczyzna, Żaba 2 to Mężczyzna
• Żaba 1 to Samica, Żaba 2 to Mężczyzna
• Żaba 1 to Mężczyzna, Żaba 2 to Kobieta
• Żaba 1 to kobieta, Żaba 2 to kobieta

Zakładając, że samce i samice występują jednakowo i niezależnie, nasza przestrzeń próbna to $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $ i mamy prawdopodobieństwo 1/4 $ na każdy element.

Teraz, gdy usłyszymy rechot pochodząc z tej pary, wiemy, że przynajmniej jedna żaba jest samcem. Zatem zdarzenie $ (F, F) $ jest niemożliwe. Mamy wtedy nową, zmniejszoną przestrzeń próbkowania wywołaną przez ten warunek: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Każda pozostała możliwość jest nadal równie prawdopodobna, a probabili ty wszystkich dodanych wydarzeń musi wynosić 1 $. Więc prawdopodobieństwo każdego z tych trzech zdarzeń w nowej przestrzeni próbkowania musi wynosić 1/3 $.

Jedyne zdarzenie, które kończy się źle dla nas, to $ (M, M) $, więc mamy 2 $ / 3 $ szansa na przeżycie.

---

Bardziej formalnie, definicja prawdopodobieństwa warunkowego mówi:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Więc jeśli $ A $ jest zdarzeniem, w którym obecna jest co najmniej jedna kobieta, a $ B $ jest zdarzeniem, w którym obecny jest co najmniej jeden mężczyzna, mamy: \ begin {align} P (\ text {F podano co najmniej 1 mln}) & = \ frac {P (\ text {F i co najmniej 1 mężczyzna})} {P (\ text {at co najmniej 1 mln})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 mln i 1 mln})} {P (\ text {1 mln lub 2 mln}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

To to naprawdę ta sama procedura, przez którą przeprowadziliśmy rozumowanie, jak powyżej.

Komentarze

• Cześć mb7744, dziękuję za szybką odpowiedź. Rozumiem odpowiedź w sposób przedstawiony, ale wygląda to na podwójne liczenie, dlatego ' z trudem próbuję zaakceptować odpowiedź. (M, K) = (K, M) na pewno, a jeśli nie, to dlaczego?
• (M, K) i (K, M) to nie to samo wydarzenie. Jeśli jedna żaba ma na imię Alex, a druga ma na imię Taylor, Alex może być samicą, a Taylor samcem LUB odwrotnie. Alex i Taylor prawdopodobnie nie zgodziliby się, że to rozróżnienie jest bez znaczenia. Teraz możesz traktować te dwa zdarzenia jako równoważne.Jednak wtedy twoje trzy wyniki (M, M), (F, F) i (M, F) są nie równie prawdopodobne. Połączenie mieszane jest dwukrotnie bardziej prawdopodobne. To jest ten sam powód, dla którego prawdopodobieństwo wyrzucenia 7 na parze kości jest większe niż 2, nawet jeśli postrzegasz wszystkie różne sposoby wyrzucenia 7 jako równoważne.
• Cześć, myślę, że pomaga to wyjaśnić, gdzie ' nie ' dostaję ' zagadkę. Jeśli mogę powtórzyć problem, ' widząc go, zamień żabę na rzut monetą (lub rzut kostką). Gdybyś miał rzucić dwie monety i wykluczyć pewne kombinacje, całkowicie zaakceptowałbym odpowiedź. Jednak w analogii do ' zagadki czytam to, ponieważ otrzymujemy tylko jedno rzut monetą. Druga już została dokonana i nie może zmienić wyniku drugiej. Brak wiedzy, który z tych dwóch wyników został już określony, nie ' nie pozwala nam przerzucić dwóch monet i wybrać, które wyniki uwzględnić lub wykluczyć. Więc używając analogii rzutu kośćmi …..
• … możesz rzucić dwiema kośćmi, ale nie znasz jednej kości ' wynik został już zdecydowany. Masz tylko 1/6 szans na uzyskanie dowolnej liczby 7-12. Czy się mylę?
• Jeśli spojrzymy na wszystkie pary równie prawdopodobnych wyników w rzucie kośćmi, kolejność ma znaczenie . Wyobraź sobie, że jedna kość jest niebieska, a druga czerwona, i zapisujemy nasze wyniki niebieską kością jako pierwszą, a czerwoną jako ostatnią. Wtedy wynik (1,2) jest nie taki sam jak wynik (2,1). I tak jak poprzednio, prawdopodobieństwo wyrzucenia ” 1 i 2, niezależnie od kolejności „, będzie dwa razy większe niż np. , wyrzucając parę 2s. Jeśli chodzi o twoje ostatnie pytanie, zakładam, że chciałeś powiedzieć, że wynik jednej kości ' został równy 6 . W takim przypadku masz rację.

Ponieważ matematyka jest już ułożona, spróbuję dać trochę intuicji. Problem polega na tym, że wiedza, że przynajmniej jedna żaba jest samcem, różni się od wiedzy, że jakakolwiek konkretna żaba jest samcem. Pierwszy przypadek niesie mniej informacji, a to skutecznie zwiększa nasze szanse na drugą sytuację .

Przywołaj żaby w lewo i prawo i przypuśćmy, że powiedziano nam, że prawa żaba jest samcem. Następnie wyeliminowaliśmy dwa możliwe zdarzenia z przestrzeni próbnej: zdarzenie, w którym oba żaby są samicami, a zdarzenie, w którym lewa żaba jest samcem, a prawa żabą – samicą. Teraz prawdopodobieństwo wynosi naprawdę połowę i nie ma znaczenia, którą wybierzemy. Dokładnie ten sam argument jest prawdziwy, jeśli dowiemy się, że lewa żaba jest samcem.

Ale jeśli powiedziano nam tylko, że przynajmniej jedna żaba jest samcem, co dzieje się, gdy słyszymy rechot, wtedy nie możemy wyeliminować przypadek, że lewa żaba jest mężczyzną, a prawa żabą kobietą. Możemy tylko wyeliminować zdarzenie, w którym oboje są kobietami, co sprawia, że zdarzenie, w którym przynajmniej jedna jest kobietą, jest bardziej prawdopodobne niż poprzednie.

Myślę, że powodem, dla którego jest to mylące, jest to, że naturalnie myślimy, że nauka tego przynajmniej jeden jest samcem, co powinno sprawić, że nie będziemy wybierać pary żab. Prawdą jest, że ta informacja zmniejsza prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna z nich jest kobietą, ale należy również pamiętać, że istniało pełne trzy czwarte szansy, że co najmniej jedna kobieta w ogóle się nauczyła. To niejednoznaczność otrzymywanych przez nas informacji sprawia, że nadal powinniśmy preferować dwie żaby nad jedną.

Komentarze

• Dzięki, dsaxton, intuicyjnie wybrałem dwie żaby, ale moje rozumowanie podpowiadało mi, że obie opcje są równie prawdopodobne.
• Dzięki, dsaxton, podejrzewam, że ' s sformułowanie zagadki, która mnie rzuca. Jak napotkałem, dwie żaby nie są rozróżnialne (bez dalszych informacji), więc nie widzę rozróżnienia (M, F), (F, M) jako znaczącego w tym kontekst. Nie jestem przekonany, że moje rozumowanie jest błędne, ale przepraszam, jeśli jestem trochę powolny.
• Jeszcze raz dziękuję dsaxton. Jak wspomniano powyżej, ' znalazłem mentalne zawieszenie, które miałem, i teraz widzę, dlaczego odpowiedź jest prawidłowa (i pytanie, na które tak naprawdę próbowałem odpowiedzieć). Jeszcze raz dziękuję za pomoc, zobaczenie odpowiedzi to nie to samo, co posiadanie pomoc, aby naprawdę to zrozumieć.

W tym przypadku Twoja intuicja ma rację. Jak stwierdzono problem, Twoje szanse na przeżycie wynoszą 50%. Film nieprawidłowo przedstawia problematyczny obszar na podstawie posiadanych przez nas informacji i dlatego dochodzi do błędnych wniosków. Prawidłowa przestrzeń problemu zawiera 8 warunków i jest następująca.

Mamy dwie żaby na pniu, a jedna z nich wychrypiała, jakie mamy możliwości?(M oznacza mężczyznę, F oznacza kobietę, a c oznacza rechot, pierwsza pozycja jest po lewej, druga pozycja po prawej)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Każdy przypadek jest równie prawdopodobny na podstawie informacje, które posiadamy, gdy eliminujemy warunki, mając świadomość, że żaba rechotała. Odkryliśmy, że można się spodziewać 4 wyników. Lewy samiec żaby wychrypiał obok prawego samca, który milczał. Żaba po prawej stronie rechotała obok milczącego samca. Albo rechoczący samiec żaby w połączeniu z jedną samicą żabą w każdym kierunku. Aby intuicyjnie to zrozumieć, prawdopodobieństwo rechotania dwóch samców żab jest dwa razy większe niż pojedynczego samca żaby sparowanej z samicą, więc musimy odpowiednio ją zważyć.

Możesz również podzielić przestrzeń wyszukiwania przez rechoczącą żabę (C) i niekraczącą żabę (N). Ponieważ rechocząca żaba jest w 100% mężczyzną, możesz wyeliminować ją z poszukiwań, ponieważ nie ma szans pomóc ci przetrwać. Chociaż autor zamierzał stworzyć „problem monty hall”, nieumyślnie stworzył „paradoks chłopca lub dziewczynki”.

Poniższe pytania dają różne wyniki:

Biorąc pod uwagę, że jest mężczyzna, jakie jest prawdopodobieństwo, że drugi jest kobietą?

Biorąc pod uwagę, że żaba rechotała, co czy jest prawdopodobieństwo, że druga osoba jest kobietą?

Znam więcej informacji w drugim przypadku

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Jaśniejsza odpowiedź, ponieważ poprzednia była zbyt długa i trudna do zrozumienia.

Możliwe wyniki są różne, chociaż użyłem tych samych liter. Aby wyjaśnić miejsce na próbki, opiszę możliwe wyniki

MM -> „ mężczyzna jest po lewej stronie „-” Losowy mężczyzna po prawej stronie „

MF -> „Mężczyzna jest po lewej” – „Losowa kobieta po prawej”

MM – -> „Mężczyzna jest po prawej” – „Losowy samiec po lewej”

MF -> „Samiec jest po prawej” – „Losowa kobieta po lewej”

Komentarze

• Podwójnie liczysz MM walizka. Możesz ' wyliczyć wszystkie możliwe scenariusze bez brania pod uwagę, czy ' dochodzisz do tego samego scenariusza różnymi drogami.

Problem, który mam z tym problemem polega na tym, że rozwiązanie wydaje się korzystać z różnych reguł rozważa możliwy wynik dla dwóch żab będących samcem i samicą oraz samcem i samcem.

Para K / M i para M / K są różne, ponieważ nie wiemy, czy pierwsza żaba lub druga żaba jest samcem, więc F / M i M / F to dwie różne możliwości, mimo że wynik nadal wynosi „jedna samica żaby, jeden samiec żaby”.

Ale M / M para jest uważana tylko za jeden możliwy wynik, chociaż należy zastosować tę samą logikę: nie wiemy, która żaba jest tą, która wydała dźwięk rechotu, więc każda żaba może być tą, którą usłyszeliśmy, a druga może nadal być mężczyzną , po prostu się nie rechotało.

Rozpoczyna się ts

• To raczej komentarz niż odpowiedź na ” zagadkę. ” Zmień to na komentarz i usuń tę ” odpowiedź. ”
• @DJohnson Właściwie jest to odpowiedź na zagadkę, chociaż późniejsza odpowiedź tomcioppa wyjaśnia to jaśniej.

Nic nie wiem: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Trzy pary z co najmniej jedną kobietą z czterech możliwych kombinacji: 3/4 $ lub $ 75 \% $

Wiedząc, że pierwszy z nich to mężczyzna: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Jedna para z co najmniej jedną kobietą z dwóch możliwych kombinacji: 1/2 $ lub $ 50 \% $

Wiedząc, że jest co najmniej jeden mężczyzna: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Dwie pary z co najmniej jedną kobietą z trzech możliwych kombinacji: 2/3 $ lub $ 67 \% $

Zanim usłyszymy jakiekolwiek rechotanie, są 4 równie prawdopodobne wyniki, biorąc pod uwagę 2 żaby:

Żaba 1 to Mężczyzna, Żaba 2 to Mężczyzna

Żaba 1 to Samica, Żaba 2 to Mężczyzna

Żaba 1 to Mężczyzna, Żaba 2 to Samica

Żaba 1 to Kobieta, Żaba 2 to Kobieta

Zakładając, że samce i samice występują jednakowo i niezależnie, nasza przestrzeń próbna to {(M, M), (K, M), (M, K), ( F, F)} i mamy prawdopodobieństwo 1/4 dla każdego elementu.

Gdy usłyszymy rechot dochodzący z tej pary, wiemy, że przynajmniej jedna żaba jest samcem. Ten samiec może równie dobrze być żabą 1 lub żabą 2. Więc są 2 równie prawdopodobne wyniki dla żaby 1:

Żaba 1 to samiec

Żaba 1 to losowa żaba

Przyjmując założenia dotyczące samców i samic występujących jednakowo i niezależnie, Losowa Żaba jest równie prawdopodobna jako Losowy Samiec lub Losowa Samica.

P (Żaba 1 to Losowy Samiec, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Random Frog) = P (Frog 1 to Random Female, a Frog 1 is Random Frog) = 1/2

P (Żaba 1 to Losowy Samiec, a Żaba 1 to Losowa Żaba) = P (Żaba 1 to Losowa Frog) P (Żaba 1 to Losowy Samiec, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Losowa Żaba) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Żaba 1 to Random Female, a Frog 1 to Random Frog) = P (Żaba 1 to Random Frog) P (Żaba 1 to Losowa Kobieta, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Losowa Żaba) = (1/2) (1/2) = 1/4

Więc są 3 możliwe wyniki dla Żaby 1:

Żaba 1 to Samiec

Żaba 1 to Losowy Samiec

Żaba 1 to losowa kobieta

a prawdopodobieństwa to:

P (Żaba 1 to mężczyzna) = 1/2

P (Żaba 1 to losowy samiec ) = 1/4

P (Żaba 1 to losowa kobieta) = 1/4

Teraz dla każdego możliwego wyniku dla Żaby 1 są 2 możliwe wyniki dla Żaby 2:

Żaba 2 jest mężczyzną

Żaba 2 jest losową żabą

Dla każdego możliwego wyniku dla Żaby 1, Losowa Żaba jest równie prawdopodobne, że będzie to Losowy Samiec lub Losowa Żaba.

Tak więc dla każdego możliwego wyniku dla Żaby 1 są 3 możliwe wyniki dla Żaby 2:

Żaba 2 to mężczyzna

Żaba 2 to losowy samiec

Żaba 2 to Losowa Kobieta

P (Żaba 2 to Samiec, a Żaba 1 to Samiec) = 0

P (Żaba 2 to Samiec, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Losowy Samiec) = 1

P (Żaba 2 to Samiec, a Żaba 1 to Losowa Kobieta) = 1

P (Żaba 2 to Losowy Samiec, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Samiec) = 1/2

P (Żaba 2 to Losowy Samiec, a Żaba 1 to Losowy Samiec) = 0

P (Żaba 2 to Losowy Samiec, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Losowa Samica) = 0

P (Żaba 2 to Losowa Kobieta, której Żaba 1 to Samiec) = 1/2

P (Żaba 2 to Losowa Kobieta, a Żaba 1 to Losowy Samiec) = 0

P (Żaba 2 jest Random Female, której Frog 1 to Random Fe mężczyzna) = 0

P (Żaba 2 to Losowy Samiec, a Żaba 1 to Samiec) = P (Żaba 1 to Samiec) P (Żaba 2 to Losowy Samiec, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Samiec) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Żaba 2 to losowa kobieta, a Żaba 1 to mężczyzna) = P (Żaba 1 to mężczyzna) P ( Żaba 2 to losowa kobieta, biorąc pod uwagę Żaba 1 to mężczyzna) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Żaba 2 to samiec, a żaba 1 to losowy samiec) = P (Żaba 1 to Losowy Samiec) * P (Żaba 2 to Samiec, biorąc pod uwagę Żaba 1 to Losowy Samiec) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Żaba 2 to Samiec i Żaba 1 to losowa kobieta) = P (Żaba 1 to losowa kobieta) * P (Żaba 2 to mężczyzna, biorąc pod uwagę, że Żaba 1 to losowa kobieta) = (1/4) * 1 = 1/4

Zatem nasza przestrzeń próbki to {(Mężczyzna, Random Mężczyzna), (Mężczyzna, Random Kobieta), (Random Mężczyzna, Mężczyzna), (Random Kobieta, Mężczyzna)} i mamy prawdopodobieństwo 1/4 dla każdego elementu.

P (K, który ma co najmniej 1 M) = P (K i co najmniej 1 mężczyzna) / P (co najmniej 1 M) = P (1 M i 1 K) / P (1 M lub 2 M) = P [( Mężczyzna, losowa kobieta), (losowa kobieta, mężczyzna)] / P [(mężczyzna, losowy mężczyzna), (mężczyzna, losowa kobieta), (losowy mężczyzna, mężczyzna), (losowa kobieta, mężczyzna)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Komentarze

• Czy skopiowałeś i wkleiłeś z mojej odpowiedzi i usunąłeś formatowanie?
• Cóż, po pierwsze, skopiowanie i wklejenie części kogoś innego ' bez wzmianki o tym jest niedopuszczalna. Pomijając to, jeśli myślisz, że osiągnąłeś inny wynik, czy istnieje bardziej zwięzły sposób, aby to wyjaśnić? Napisałeś wiele niepowiązanych równań bez żadnego wyjaśnienia.
• To ' to nie literatura, ale nadal jest niegrzeczna. A teraz, jeśli chodzi o twoją odpowiedź w porównaniu z moją: uważam, że twoja odpowiedź jest bezsensowna. Jakie jest znaczenie wyniku ” Frog 2 is Random Frog „?
• Twoja odpowiedź była jedyna obliczanie prawdopodobieństw warunkowych. Używanie tych samych terminów może pomóc w porównaniu i sprawdzeniu, która część jest taka sama, a która różni się. Mogę powiedzieć, inne odpowiedzi też uważam za bezsensowne, ale nie powiedziałem tego, bo byłoby to niegrzeczne;). Jeśli czegoś nie rozumiesz, możesz poprosić o wyjaśnienia. ” Żaba 2 to losowa żaba ” oznacza, że nie jest to samiec, o którym wiadomo, że jest w parze ….
• Istnieją dwa źródła losowości, jedno pochodzi od żaby płci męskiej, o której wiadomo, że jest w parze, a drugie od populacji żab. Ponieważ wiemy, że samiec żaby tam jest, niepewność dotyczy tylko pozycji. Czy to żaba 1 czy żaba 2? A może jest po lewej czy po prawej stronie? Moja rada jest taka, aby zbudować przestrzeń na próbki od podstaw i wykorzystać wszystkie dostępne informacje.