Zamieszanie w obliczaniu okresu podstawowego?

Funkcje trygonometryczne są zasadniczo wykładnicze. Zatem podwojenie argumentu odpowiada podniesieniu funkcji do kwadratu (w pewnym sensie). W tym przypadku można to zobaczyć, stosując formułę dodawania kątów:

$$ \ begin {aligned} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {aligned} $$

Tworzenie

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Zastosuję go do równanie:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Z tego jasno wynika, że podstawowy okres wynosi 0,25, ponieważ to sprawia, że $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Na żądanie:

$$ \ begin {aligned} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + mi ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {aligned} $$

Stamtąd powinieneś być w stanie wyciągnąć wnioski. Zauważ, że kwadratową obudowę można było obsługiwać w ten sam sposób.

Używam tej techniki szeroko w przypadku tych formuł:

• Dokładne wzory częstotliwości bliskiej chwilowej, najlepsze w szczytach (część 1)
• Dokładne wzory częstotliwości bliskiej chwilowej, najlepsze w szczytach (część 2)
• Dokładne wzory częstotliwości bliskiej chwilowej, najlepsze przy przejściu przez zero

Komentarze

• Uprzejmie proszę zaktualizuj 2. ostatnią linię swojej odpowiedzi. Jest to okres podstawowy, który wynosi 0,25, a nie częstotliwość podstawową
• @ Man Done, dobry chwyt. Przepraszamy za to.
• Uprzejmie proszę nieco zaktualizować swoją odpowiedź, aby spełnić potrzebę zaktualizowania pytania.
• @Man Przestań przesuwać posty dotyczące celów. n = 3,4,5 … można obliczyć zgodnie ze wzorem. wynik końcowy to $ n4 \ pi T = 2 \ pi $, czyli to samo co $ T = 1 / (2n) $

Wydaje się, że jest to bardziej problem semantyczny.

Sygnał jest okresowy w czasie $ T $ , jeśli

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Więc sygnał jest okresowy w 0,5 $ od $ T = 0.5 \ cdot n $ argument cosinus jest całkowitą wielokrotnością 2 $ \ pi $ . Ponieważ jest to okresowe w 0,5 $ , jest również okresowe we wszystkich całkowitych wielokrotnościach 0,5 $ , tj. 1 $ , 1,5 $ , 2 $ itd.

W tym przypadku jest to również okresowe w 0,25 $ od $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0.5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Zatem każdy sygnał okresowy ma nieskończona liczba okresów, z których podstawowa jest najmniejsza, a wszystkie pozostałe są całkowitymi wielokrotnościami liczby podstawowej.

Jeśli to pomoże, wygeneruj sinusoidę jednostkową amplitudy przy 1 Hz i jej kwadrat:

Następnie sinusoida i jej kwadrat wyglądają następująco:

Możesz zobaczyć składową DC: uśredniona wartość kwadratu sinusoidy (uśredniona przez całkowitą liczbę okresów) wynosi 1/2. A częstotliwość czerwonej fali sinusoidalnej jest dokładnie podwojona, więc okres jest zmniejszony o połowę. Częstotliwość DC i podwojona to „częstotliwości dudnienia” uzyskane przez przemnożenie fali sinusoidalnej.

Komentarze

• jakiego oprogramowania używasz?
• Używam komercyjnego programu symulacyjnego o nazwie Extend (starsza wersja) i ExtendSim (nowsze wersje), z Imagine That, Inc. Są one wzbogacone o cztery biblioteki bloków, które zacząłem opracowywać w 1990 roku. Moje biblioteki o nazwie LightStone są dostępne za darmo, z pełnym komentarzem kodu źródłowego. Adres URL moich bibliotek to umass.box.com/v/LightStone . Zaktualizuję biblioteki do końca tygodnia, aby działały z najnowszą wersją ExtendSim 10.0.6 (powinna to być tylko ponowna kompilacja). Powyższy model został wykonany z rozszerzeniem 6.0.8 na starym Macu (podoba mi się jego wygląd).
• Dzięki, ' sprawdzę to: )