Oto pytanie dotyczące prawdopodobieństwa (prawdopodobnie bardzo proste) Nie wiem, jak rozwiązać:
Gamma dystrybucja $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ z $ \ mu = 20 $ i $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Poprzednie pytanie dotyczyło znalezienia wartości $ \ alpha $ i $ \ beta $, co zrobiłem za pomocą $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ i $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alfa $$ \ beta ^ 2 $.
W przypadku cdf z rozkładem gamma w moim podręczniku jest napisane $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ gdzie $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ to standardowy rozkład gamma cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Aby to zintegrować, wygląda na to, że muszę użyć reguły łańcucha, ale nasz profesor nigdy tego nie zrobił przykład. Czy istnieje metoda na skróty? Nigdy nie używaliśmy integracji w prawdziwym przykładzie, tylko po to, aby zdefiniować pdf i pobrać cdf dla różnych dystrybucji.
Edytuj
Przykłady w moim podręcznik dotyczący standardowych problemów z rozkładem gamma mówi, że należy sprawdzić wartości $ F (x; \ alpha) $ w tabeli A.4 w dodatku. Kiedy spojrzałem, brakowało tabeli A.4, co naprawdę mnie rozczarowuje. Czy są jakieś standardowe tabele rozkładu gamma online, które mogę wydrukować i przekazać wraz z przydziałem? Sprawdziłem Wolfram Alpha, ale takiego nie było. Casio ma coś , ale nie jestem pewien, jakie są parametry kształtu i skali.
Edytuj 2
Znalazłem ten stół. Na początku książki, Tabela A.5 pojawiła się zaraz po A.3, dlatego pomyślałem, że brakuje A.4. Poszedłem do biblioteki, aby sprawdzić, czy mieli ten sam podręcznik, mieli i ktoś miał zdrowy rozsądek (którego ja nie miałem), aby zajrzeć do tylnej części książki i oto on. Żadna dodatkowa pomoc nie jest potrzebna.
Komentarze
- Musisz integrować częściami wielokrotnie zaczynając od $ u = y ^ {\ alpha-1} $ i $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ i $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Za każdym razem, gdy to zrobisz, otrzymasz całkę z mniejszym wykładnikiem dla $ y $. Jeśli $ \ alpha $ jest liczbą całkowitą, będziesz mógł dokończyć proces. Jeśli $ \ alpha $ nie jest liczbą całkowitą, sprawy są bardziej skomplikowane.
- @dilip powinieneś zamieścić swój komentarz jako odpowiedź.
- @DilipSarwate, nie ma rozwiązania w postaci zamkniętej formy dla $ \ alpha $ non-integer, ten plik cdf jest wówczas niepełną funkcją gamma .
- I mocno wątpię, że celem była integracja po części ćwiczenia.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
Odpowiedź
Zgodnie z sugestią probabilityislogic mój komentarz jest konwertowany na odpowiedź.
Musisz całkować częściami wielokrotnie zaczynając od $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $ i używając $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Ponieważ $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, za każdym razem, gdy wykonujesz całkowanie przez części, otrzyma całkę z mniejszym e xponent za $ y $ po prawej stronie. Jeśli $ \ alpha $ jest liczbą całkowitą (tak jest w tym konkretnym przypadku), będziesz mógł zakończyć proces za pomocą $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Jeśli $ \ alpha $ nie jest liczbą całkowitą, sprawa jest bardziej skomplikowana, ponieważ nie ma ogólnego wyrażenia w postaci zamkniętej dla $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ gdzie $ 0 < \ gamma < 1 $. Jak zauważył Xi „an, cdf jest niekompletną funkcją gamma, a jej wartości liczbowe zostały zestawione w tabeli.
Jeśli całkowanie przez części nie jest celem tego ćwiczenia, jak sugerowano w komentarzu Elvisa możesz chcieć sprawdzić, czy twój profesor chce, abyś traktował wartość zmiennej losowej gamma jako czas przybycia w losowym procesie Poissona i rozwiązywał problem z tego punktu widzenia.
Komentarze
- Czy istnieje tabela online dla różnych wartości x i alfa? Mój podręcznik zawiera tylko tabele standardowych krzywych normalnych i rozkładów t. Próbowałem poszukać jednej, ale znalazłem za dużo tabel Chi-kwadrat.
- Nie ' nie wiem o tabeli online, ale MATLAB obliczy dla ciebie wartości i przypuszczam, że R lub Mathematica lub Wolfram Alpha lub Maple lub … itd. zrobiłyby to samo.