Zasada Hamiltona '

Notatki z 1. tygodnia Kurs Johna Baeza z mechaniki Lagrangea daje pewien wgląd w motywacje dla zasad działania.

Pomysł jest taki, że najmniejsze działanie można uznać za rozszerzenie zasady pracy wirtualnej. Kiedy obiekt jest w równowadze, wykonanie na nim dowolnego dowolnego niewielkiego przemieszczenia wymaga zerowej pracy. mi. iloczyn skalarny dowolnego małego wektora przemieszczenia i siły wynosi zero (w tym przypadku, ponieważ sama siła wynosi zero).

Kiedy obiekt przyspiesza, jeśli dodamy „siłę bezwładności” równą $ \, – ma \, $ , to małe, dowolne, zależne od czasu przemieszczenie z rzeczywistej trajektorii obiektów znowu będzie miało iloczyn zerowy z $ \, F-ma, \, $ dodano prawdziwą siłę i siłę bezwładności. Daje to

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

Od tam kilka obliczeń znalezionych w notatkach prowadzi do stacjonarnej całki akcji.

Baez omawia D „Alembert bardziej niż Hamilton, ale tak czy inaczej, jest to interesujące spojrzenie na pochodzenie pomysłu.

Komentarze

• Zwróć uwagę, że zasada pracy wirtualnej nazywa się D ' Zasada Alemberta: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Istnieje również podejście Feynmana, tj. najmniejsza akcja jest klasycznie prawdziwa tylko dlatego, że jest prawdziwa z mechaniki kwantowej, a fizykę klasyczną najlepiej traktować jako przybliżenie podstawowego podejścia kwantowego. Zobacz http://www.worldscibooks.com/physics/5852.html lub http://www.eftaylor.com/pub/call_action.htm l.

Ogólnie rzecz biorąc, całość podsumowano w skrócie w R ichard P. Feynman, Wykłady Feynmana z fizyki (Addison – Wesley, Reading, MA, 1964), t. II, rozdz. 19. (Myślę, proszę mnie poprawić, jeśli się mylę.) Podstawową ideą jest to, że całka akcji określa amplitudę mechaniki kwantowej dla położenia cząstki, a amplituda jest stabilna dla efektów interferencyjnych (-> ma niezerowe prawdopodobieństwo wystąpienia) tylko w skrajnych lub końcowych punktach całki akcji. Cząstka rzeczywiście bada wszystkie alternatywne ścieżki probabilistycznie.

Prawdopodobnie i tak chcesz przeczytać wykłady Feynmana z fizyki, więc możesz tak dobrze zacznij teraz. 🙂

Komentarze

• Feynman ' s Wykłady z fizyki są dobre, ale najlepiej czytać je później wydaje mi się, że właściwie nauczyłem się tematu, aby zapewnić nowe / dalsze spostrzeżenia.

Jak widać na poniższym obrazku, chcesz, aby wariacja całki akcji była minimalna, dlatego $ \ Displaystyle \ Frac {\ delta S} {\ delta q} $ musi wynosić 0 $. W przeciwnym razie nie wybierasz prawdziwej ścieżki między $ q_ {t_ {1}} $ a $ q_ {t_ {2}} $, ale nieco dłuższą. Jednak nawet podążając za $ \ delta S = 0 $, jak wiesz, możesz skończyć z innym ekstremum.

Podążając za linkiem z jc, możesz znaleźć On a General Method on Dynamics , który prawdopodobnie odpowiada na twoje pytanie dotyczące rozumowania Hamiltona. Nie czytałem ale prawie na pewno warto.

Komentarze

• Wydaje się, że to tautologiczna odpowiedź, ponieważ jest to właśnie Hamilton ', która została użyta do uzyskania powyższego obrazu w pierwszej kolejności.
• Może nauczyłeś się ' zasady Hamiltona i do tego doszedłeś obraz jako wyjaśnienie, ale obraz jest całkowicie ogólny. Opisuje zmienność funkcji ze stałymi punktami końcowymi.

Generalnie opowiadam, że zasada działania to inny sposób uzyskania tych samych równań różniczkowych – więc na poziomie mechaniki te dwa są równoważne. Jednak jeśli chodzi o kwantową teorię pola, opis całek po trajektorii po działaniu potęgującym jest niezbędny przy rozważaniu efektów chwilowych. Ostatecznie więc okazuje się, że sformułowanie w kategoriach działań jest bardziej fundamentalne i bardziej fizyczne.

Ale mimo to ludzie nie mają „wyczucia” działania tak, jak odczuwają energię.

Pamiętajmy, że równania ruchu z początkiem warunki $ q (0), (dq / dt) (0) $ zostały wysunięte jako pierwsze, a zasada najmniejszego działania została sformułowana później, jako sekwencja. Chociaż matematycznie piękna i elegancka Zasada najmniejszego działania wykorzystuje pewien przyszły warunek „brzegowy” $ q (t_2) $, który jest fizycznie nieznany. Nie ma zasady najmniejszego działania działającego tylko w warunkach początkowych.

Ponadto zakłada się, że równania mają rozwiązania fizyczne. Tak jest w mechanice klasycznej, ale jest błędne w elektrodynamice klasycznej. Tak więc, nawet wyprowadzone z formalnie poprawnej „zasady”, równania mogą być błędne na poziomie fizycznym i matematycznym. szacunku, formułowanie właściwych równań fizycznych jest bardziej fundamentalnym zadaniem fizyków niż opieranie się na jakiejś „zasadzie” otrzymywania równań „automatycznie”. To my fizycy jesteśmy odpowiedzialni za prawidłowe formułowanie równań.

W CED, QED i QFT trzeba „naprawiać na bieżąco” niewłaściwe rozwiązania tylko dlatego, że fizyka została odgadnięta i początkowo zaimplementowana nieprawidłowo.

PS Chciałbym pokazać, jak w rzeczywistości system „wybiera” swoją trajektorię: jeśli przy $ t = 0 $ cząstka ma pęd $ p (t) $, to następnym razem $ t + dt $ ma pęd $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Ten przyrost jest dość lokalny w czasie, jest określany przez aktualną wartość siły $ F (t) $, więc żaden przyszły warunek „brzegowy” nie może go określić. Trajektoria nie jest „wybierana” spośród wirtualnych; jest „rysowany” przez chwilowe wartości siły, współrzędnej i prędkości.

Komentarze

• Lubię myśleć, że obie opcje są jedynie matematyczne modele, więc żaden nie jest bardziej prawdziwy. Ani system nie wybiera swojej trajektorii, ani przyszłość nie wyznacza najmniejszej ścieżki działania. Nielokalność QM prowadzi do podobnych wątpliwości.
• O dziwo, istnieje teraz zasada najmniejszego działania działająca tylko w warunkach początkowych! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Oto bezpłatna wersja arXiv . Bez szczegółowego czytania artykułu pachnie jak klasyczny formalizm Keldysh , por. to i te posty Phys.SE.

Zamiast określać początkową pozycję i pęd, tak jak to zrobiliśmy w formalizmie Newtona, przeformułujmy nasze pytanie w następujący sposób:

Jeśli zdecydujemy się określić położenie początkowe i końcowe: $ \ textbf {Jaką ścieżkę ma cząstka?} $

Niech” twierdzenie, że możemy odzyskać formalizm Newtona za pomocą następującego formalizmu, tak zwanego formalizmu lagranżowskiego lub zasady Hamiltona.

Do każdej ścieżki zilustrowanej na powyższym rysunku przypisujemy liczbę, którą nazywamy działaniem

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

gdzie ta całka jest różnica między energia kinetyczna i energia potencjalna.

$ \ textbf {Zasada Hamiltona twierdzi, że} $: Prawdziwa ścieżka pokonana przez cząstkę jest ekstremum S.

$ \ textbf {Dowód:} $

1. Zmień nieznacznie ścieżkę:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2. Utrzymuj punkty końcowe ścieżki naprawione :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Wykonaj wariację akcji $ S $:

na koniec otrzymasz

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Warunkiem, że ścieżka, od której zaczęliśmy, jest ekstremum akcji, jest

$$ \ delta S = 0 $$

który powinien zawierać wszystkie zmiany $ \ delta \ vec {r} (t) $, które wprowadzamy do ścieżki. Jedynym sposobem, w jaki może się to zdarzyć, jest to, że wyrażenie w $ [\ cdots] $ wynosi zero.Oznacza to

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Teraz rozpoznajemy to jako $ \ textbf {równania Newtona} $. Wymaganie ekstremalnego działania jest równoznaczne z wymaganiem, aby ścieżka była zgodna z równaniami Newtona.

Aby uzyskać więcej informacji, możesz przeczytać ten wykład w formacie PDF.

Mam nadzieję, że to pomoże.

Komentarze

• Jeśli widzimy cząstkę zmuszoną do poruszania się po kuli, docieramy do ścieżek jeden to maksimum lub minimum. Czuję, że cząstka podąża ścieżką najmniejszego działania, ale równanie matematyczne δS = 0 daje nam niejednoznaczną odpowiedź, ale pewna część tej odpowiedzi zawiera w sobie ścieżkę najmniejszego działania. Możesz zobaczyć Arfkena i Webera.