Znaczenie przestrzeni Focka

Załóżmy, że masz system opisany spacją Hilberta $ H $ , na przykład pojedyncza cząstka. Przestrzeń Hilberta dwóch nieoddziałujących cząstek tego samego typu, jak opisana przez $ H $ jest po prostu iloczynem tensora

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Bardziej ogólnie, dla systemu $ N $ cząstek jak powyżej, przestrzeń Hilberta to

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

z $ H ^ 0 $ zdefiniowanym jako $ \ mathbb C $ (tj. pole leżące u podstaw $ H $ ).

W QFT istnieją operatory, które przeplatają różne $ H ^ N $ s, czyli tworzy i unicestwia cząsteczki. Typowymi przykładami są operatory tworzenia i anihilacji $ a ^ * $ i $ a $ . Zamiast definiować je pod kątem ich działania na każdej parze $ H ^ N $ i $ H ^ M $ , można podać " obszerną " definicję na większej przestrzeni Hilberta zdefiniowanej przez wzięcie bezpośredniej sumy wszystkich – spacje cząstek, a mianowicie.

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

znana jako przestrzeń Focka Hilberta $ H $ , a czasami oznaczana również jako $ e ^ H $ .

Z fizycznego punktu widzenia ogólna definicja przestrzeni Focka powyżej jest nieistotna. Wiadomo, że identyczne cząstki obserwują określoną (para) statystykę, która zredukuje rzeczywistą przestrzeń Hilberta (przez symetryzację / antysymetrię dla przypadku bozonowego / fermionowego itp.).

Komentarze

• Doskonała odpowiedź! Chciałbym, żeby pisali podręczniki QFT w ten sposób.

Świetne odpowiedzi, ale może tak po prostu ilustruje przykład.

Załóżmy, że twój $ H ^ 1 $ zawiera kilka stanów jednocząsteczkowych $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, itd. Przestrzeń Focka usuwa ograniczenie na byciu pojedynczą cząstką i składa się z $ H ^ 0 $ (co jest jednowymiarowe), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $ itd. To dopuszcza stany takie jak

• stan próżni, nazwijmy go pustym ketem $ | \ rangle $,
• wszystkie stany pojedynczych cząstek, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• wszystkie stany dwucząstkowe, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (uwaga, ta konstrukcja uważa je za rozróżnialne),

ale co najważniejsze

• każda superpozycja powyższych , np. $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right) $.

Ta przestrzeń jest z natury nieskończenie wymiarowa, nawet jeśli zaczynasz od czegoś małego, na przykład kubitu. Jeśli chcesz wyobrazić sobie wynik za pomocą podstawy, po prostu połącz listy stanów baz wszystkich składników:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

W Najbardziej trywialne ustawienie pojedynczej cząstki tak naprawdę nie ma żadnych odrębnych stanów, więc $ H ^ 1 $ jest 1-wymiarowe. Nadal ma sens wybranie stanu odniesienia $ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $ i skonstruowanie przestrzeni Focka z podstawą

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

Przykładem stanu może być, powiedzmy, stan spójny

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

i masz ładny przykład, dlaczego ludzie mogą mówić o wzbudzeniach jako o „fononach” w oscylatorze harmonicznym, mimo że oscyluje tylko jedna cząstka!

Tak. Jeśli chcesz, możesz zbudować „dużą” przestrzeń Hilberta z „małych”.