Znajdź h [n] za pomocą właściwości DTFT

Podczas gdy to jest twoja praca domowa (i dość podstawowa), będę gryźć. Przypomnij sobie definicję DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

I przypomnij sobie definicję odpowiedzi częstotliwościowej $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

gdzie $ x [n ] $ to wejście do systemu, a $ y [n] $ to jego wyjście. Połącz te dwa równania:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Teraz wykonaj odwrotność DTFT po obu stronach równania. Z definicji $ X (\ omega) $ i $ x [n] $ są parą transformacji; podobnie dla $ Y (\ omega) $ i $ y [n] $. W przypadku pozostałych dwóch terminów przypomnij sobie właściwość przesunięcia w czasie DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

co można łatwo pokazać na podstawie definicji DFT. Korzystając z tej właściwości, równanie odwrotnie przekształca się w specyfikację równania różnicowego dla systemu:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

To jest definicja filtru rekurencyjnego, którym jest zwykle IIR; tak jest w przypadku tego. Znalezienie odpowiedzi impulsowej jest łatwe; niech $ x [n] = \ delta [n] $ i znajdźmy wyjście systemu:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Powyższy wykres przedstawia $ a = 0,99 $. Należy zauważyć, że system jest stabilny tylko dla $ | a | \ le1 $.

Komentarze

• I ' próbowałem obliczyć odpowiedź impulsową, ale splątałem się. Czy możesz pokazać, jak to ' zostało wykonane? dziękuję.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Ponieważ odpowiedź impulsowa rozciąga się do $ \ infty $, jest to filtr IIR. JasonR stwierdza w swojej odpowiedzi, że filtr jest stabilny tylko wtedy, gdy $ | a | < 1 $. W rzeczywistości filtr jest stabilny, gdy $ | a | \ leq 1 $ i jest niestabilny tylko dla $ | a | > 1 $. Jednak gdy $ | a | = 1 $, ze wzoru na szereg geometryczny $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, otrzymujemy $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ jest funkcją transferu (stabilnego) FIR filtru, który można opisać jako integrator krótkoterminowy lub krótkoterminowa średnia (z zyskiem 4 $).

Komentarze

• Ładne alternatywne wyprowadzenie. Poprawiłem również moje roszczenie dotyczące stabilności w mojej odpowiedzi.