W moim podejściu musi być fundamentalny błąd. Zacznijmy od stwierdzenia, że mamy prostą regresję z dwiema zmiennymi $ X_t $ i $ Y_t $:
$ Y_t = BX_t + e_t $
Gdzie $ B $ to współczynnik a $ e_t $ to składnik błędu. Następnie weź pierwszą różnicę wspomnianego równania, usuwając $ Y_ {t-1} $ z obu stron:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t – Y_ {t-1} $
Podstaw $ Y_ {t-1} $ z pierwszego równania:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t -BX_ {t-1} -e_ {t-1} $
=> $ ΔY_t = BΔX_t + Δe_t $
Pierwsza regresja różnicowa jest często przedstawiana w ten sposób, ale potem kiedy jest faktycznie uruchamiany, jest wykonywany poprzez zastąpienie $ X_t $ i $ Y_t $ ich różnicami, a nie odjęciem $ Y_ {t-1} $ z obu stron:
$ ΔY_t = B_1ΔX_t + v_t $
Gdzie $ v_t $ jest nowym składnikiem błędu równania. Otóż, te procedury nie są równoważne, więc dlaczego są tak opisane? Co więcej, dlaczego składnik błędu pierwszego modelu różnicowego jest często opisane jako $ \ Delta e_t $, kiedy to również nie jest prawdą, ponieważ składnik błędu nie jest związany z źródłem al składnik błędu, ponieważ oszacowane równanie jest po prostu inne. Wreszcie, dlaczego nie jest przeprowadzana pierwsza regresja różnicowa przez odjęcie $ Y_ {t-1} $ z obu stron, co daje równoważne wyniki pierwszemu równaniu (w tym przypadku bez danych z panelu przekroju)?
Odpowiedź
Właściwie te dwie procedury są takie same. Różnica między $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + \ Delta \ epsilon_t $$ a $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + v_t $$ oznacza, że możesz oszacować drugą, ale nie pierwszą, ponieważ nie obserwujesz $ \ epsilon_t $. Zatem pierwsze równanie jest raczej modelem teoretycznym, podczas gdy drugie jest równaniem szacującym, którego można by użyć w praktyce. Jeśli chcesz ręcznie odjąć $ Y_ {t-1} $ z obu stron bezpośrednio, możesz to zrobić tylko wtedy, gdy zauważysz prawdziwe błędy. Zauważysz, że $ v_t $ to szacunkowa wartość $ \ epsilon_t $. Ponownie ułóż model teoretyczny i równanie regresji, jeśli $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = \ Delta \ epsilon_t $ i $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = v_t $, to musi być prawdą, że $ \ Delta \ epsilon_t = v_t $. Rozważmy prosty przykład z dwoma okresami i $ B = 0,3 $ będącymi stałymi w czasie.
$$ \ begin {array} {c | lc | r} time & Y_t & X_t & Y_t – BX_t = v_t \\ \ hline 1 & 10 & 17 & \\ 2 & 13 & 21 & \\ \ hline \ Delta & 3 & 4 & 3 – 0,3 \ cdot 4 = 1,8 \ end {array} $$
Załóżmy, że $ v_t $ było spójnym szacunkiem $ \ epsilon_t $ w sumie okresy (co jest prawdą w tym przypadku, ponieważ deterministycznie określiliśmy proces generowania danych przez ustalenie $ B $), a następnie $ \ widehat {v} _t = \ Delta \ epsilon_t = 1,8 $ jest resztą z naszej drugiej regresji jako oszacowanie błąd pierwszego równania.
Komentarze
- Can ' t Nie mogę po prostu oszacować pierwszego modelu przez odjęcie obserwowalnych opóźnionych wartości Y z obu stron, zamiast odejmować opóźnioną wartość Y z lewej strony i opóźnioną wartość X z prawej strony. Nie ma potrzeby obliczania nieobserwowalnego błędu w ten sposób (chociaż uważam, że jest to również możliwe). Dla mnie wygląda na to, że założyłeś różnicę, przyjmując ten sam współczynnik beta. Tak, błędy są sobie równe, jeśli współczynnik jest taki sam. Ale to nie jest zwykły przypadek. Dlatego właśnie integracja modeli jest tak ważna …
- Założyłeś również, że $ B $ jest stałe w czasie, ponieważ nie ma on indeksu czasu. Generalnie nie możesz po prostu odjąć $ Y_ {t-1} $ z obu stron, ponieważ musisz obserwować $ e_t $.
- W ostatnim równaniu znajduje się indeks dolny z członem błędu Vt. Oszacowanie tych dwóch różnych równań nie ' nie daje takiej samej wartości beta.
- A co oznacza $ B_1 $? Jeśli $ B $ nie jest ' t stała, nie możesz różnicować okresów w taki sam sposób, jak to zrobiłeś, ponieważ $ B_2 X_t – B_1 X_ {t-1} = (B_2 – B_1) \ Delta X_t $.
- Tak, mogę, ponieważ szacowany współczynnik będzie dokładnie taki sam w pierwszym i drugim równaniu (jeśli wartości początkowe wynoszą 0 – co założyłem), tak nie jest z ostatecznym równaniem (stąd b1). Ale ważną kwestią jest, jeśli dobrze cię czytam, że pierwsza metoda regresji różnic zakłada, że B ' s dla równań różniczkowych i równań poziomów są równe … Co jest oczywiste nie w prawdziwym życiu. Szacowanie różnic to coś zupełnie innego niż szacowanie poziomów …