Esta pergunta pode ser um pouco preguiçosa, mas alguém pode me dar uma prova da fórmula da esfera da colina? De acordo com wikipedia , a fórmula para o raio, $ r $, é
$$ r \ approx a (1-e) \ esquerda (\ frac {m} {3M} \ right) ^ {1/3} $$
onde um corpo de massa $ m $ está orbitando um corpo de massa muito mais massivo $ M $ com um semi-eixo maior $ a $ e excentricidade $ e $.
Comentários
- Veja a introdução em este documento .
- Coloque uma massa de teste entre duas massas, assuma que a origem está na massa maior e calcule onde as magnitudes de ambas as forças são iguais?
- @Dave que ‘ um artigo muito legal (eu ‘ planejava fazer algo hoje, mas agora …), e Tenho certeza de que ‘ está lá; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ e ” unidade de comprimento é escalada pelo fator µ $ {} ^ { 1/3} $ ” mas eu não ‘ não vejo como obter o (1- e ) na frente tão facilmente.
- Porque a (1-e) é periastron?
- Parece que eles ‘ adicionaram uma derivação para a página da wikipedia – curiosamente, algo não mencionado na página da wikipedia é que esta superfície não é esférica, refere-se a quando uma partícula no eixo é perdida (durante um único evento, pelo menos – vários eventos não ressonantes eventualmente eliminam todo o material do raio da colina deixando uma esfera)
Resposta
A esfera da colina é definida de forma ligeiramente diferente do lóbulo de Roche , mas o raio é aproximado pela distância até os pontos de Lagrange L 1 e L 2 .
Para movimento circular com velocidade angular $ \ omega $ em torno da origem, temos:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
A aceleração devido à gravidade de uma massa pontual em outra massa na posição $ \ mathbf {r} $ é dado pela lei do inverso do quadrado usual:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Agora, considere um sistema de dois corpos com massas $ m_1 $ e $ m_2 $ , separados por uma distância $ r $ orbitando seu centro de massa comum (com) a distâncias $ r_1 $ e $ r_2 $ respectivamente.
sub > 1 < / sub >
Este é um sistema unidimensional, então podemos mudar de vetores para escalares. Da definição do centro de massa, temos:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Para a órbita de $ m_2 $ em torno do centro de massa, igualar a aceleração gravitacional com a aceleração necessária para movimento circular dá:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
E então expressando $ r_2 $ em termos de $ r_1 $ dá a Terceira Lei de Kepler:
Em seguida, encontramos o distância ao ponto L 1 , onde as forças gravitacionais do primário e do secundário se combinam para fornecer a aceleração necessária para o movimento circular.Equacionar a aceleração do movimento circular com as forças gravitacionais dá:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
E substituindo $ \ omega $ resulta em:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ direita)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Em seguida, reescreva isso em termos da razão de massa $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ e a distância relativa $ z = \ frac {h} {r} $ , dando:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Isso resulta em um equação quíntica para $ z $ , que deve ser resolvida numericamente, pois quíntica geral não tem soluções algébricas (eu não sou vou fingir que entendi a prova disso ).
Desde que estejamos em uma situação onde $ m_1 \ gg m_2 $ , que é uma boa aproximação para os planetas do Sistema Solar, podemos fazer aproximações para evitar a resolução do quíntico. Neste caso, a esfera Hill é muito menor do que a separação entre os dois objetos, o que significa que podemos aproximar:
$$ \ begin {alinhados} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {align} $$
Onde a segunda linha é a aproximação binomial . Isso dá:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Reorganizar resolver para $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
E, em seguida, usando as definições de $ z $ e $ q $ torna-se
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Que é a fórmula usual para o tamanho da esfera Hill.
Para L 2 , o ponto de Lagrange está localizado além do secundário, então a equação da força gravitacional e do movimento circular torna-se:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h “\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h” \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h “^ 2} $$
Onde $ h “$ é a distância do ponto secundário ao ponto L 2 .
Substitua em $ \ o mega $ e reescrevendo em termos de $ q $ e $ z “= \ frac {h”} { r} $ dá:
$$ 1 + z “\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z” \ right ) ^ {- 2} + qz “^ {- 2} $$
Novamente, isso dá uma equação quíntica para $ z” $ , mas podemos fazer aproximações semelhantes para o caso de L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ aproximadamente 1 \\ \ left (1 + z “\ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z “\ end {align} $$
Isso dá:
$$ 1 + z” \ approx 1 – 2z ” + qz “^ {- 2} $$
Simplificando e substituindo as variáveis novamente:
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Isso funciona para órbitas circulares. Para órbitas excêntricas, a abordagem usual é simplesmente substituir a distância $ r $ pela distância do pericentro $ a \ left (1 – e \ right) $ onde $ a $ é o semi-eixo principal. Uma abordagem mais rigorosa seria usar a velocidade angular no pericentro e derivar daí, mas deixarei isso como um exercício para o leitor interessado 🙂
Comentários
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+1Não ‘ se esqueça do quod erat demonstrandum !
Resposta
A esfera Hill recebeu o nome de John William Hill (1812–1879) e sua lógica simples segue da presença de três corpos (vamos supor que o Sol seja a maior massa com a Terra como massa secundária e um satélite de massa desprezível orbitando a Terra como a terceira massa), onde o raio da esfera de Hill será o maior raio em que um satélite poderia orbitar a massa secundária (Terra, neste caso). Se sua órbita exceder o raio das colinas, então ele cairá sob a influência gravitacional do primeiro corpo (sol) e, portanto, não será mais um satélite do corpo secundário.
Pode-se escrever as equações de Newton usando a ideia de que o satélite tem a mesma velocidade angular do objeto secundário.Isto é, a velocidade angular da Terra ao redor do sol é igual à velocidade angular do satélite ao redor do sol. Uma demonstração sobre a derivação é fornecida no link a seguir, bem como no limite de Roche: