De várias fontes online, li que $$ E \ propto A ^ 2 $$, mas quando mencionei isso na aula, meu professor me disse que eu estava errado e que era diretamente proporcional à amplitude.
Pelo que eu sei, todos os sites que encontrei a respeito disso diziam que era esse o caso. Meu professor tem um Ph.D. e parece bastante experiente, então não vejo por que ele cometeria um erro, há casos em que $ E \ propto A $?
Eu também vi esta derivação:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
localizado aqui , alguém se importa em explicar um pouco mais detalhadamente? Eu tenho uma compreensão básica do que é uma integral, mas não tenho certeza de qual é o pôster no link estava dizendo. Eu sei que há uma explicação muito boa aqui , mas parece muito avançada para mim (desisti quando vi as derivadas parciais, mas vejo que elas são basicamente o mesmo mais tarde). O primeiro linkado parece algo que eu poderia entender.
Comentários
- Você está fazendo as perguntas certas e pensando da maneira certa. Esqueça o doutorado e peça ao seu professor para explicar em detalhes por que ele pensa em $ E \ propto A $. Galileu tinha algo apropriado a dizer aqui: " … a autoridade de mil não vale o humilde raciocínio de um único indivíduo ". Energias em sistemas lineares são funções quadráticas de coordenadas generalizadas, como em Kyle ' s resposta .
Resposta
O postador desse link está dizendo que o trabalho feito na primavera (essa é a lei de Hooke lá: $ F = -kx $) é igual à energia potencial (PE) no deslocamento máximo, $ A $; este PE vem da energia cinética (KE) e é igual à integral da lei de Hooke na faixa de 0 (deslocamento mínimo) a $ A $ (deslocamento máximo).
De qualquer forma, seu professor está errado. A energia total em uma onda vem da soma das mudanças na energia potencial, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ e em energia cinética, $$ \ Delta K = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) v ^ 2 \ tag {KE} $$ onde $ \ Delta m $ é a mudança na massa. Se nós assuma que a densidade da onda é uniforme, então $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $ onde $ \ mu $ é a densidade linear. Assim, a energia total é $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ As $ y = A \ sin \ left (kx- \ omega t \ right) $ e $ v = A \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, então a energia é proporcional ao quadrado da amplitude: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
Comentários
- Isso provavelmente está facilmente disponível em algum lugar na wikipedia ou algo assim, mas posso perguntar onde você vai no PE equação que você listou?
- @ D.W .: Desculpe pela resposta tardia, você pode vê-la neste site de hiperfísica . Você pode usar o fato de que $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ e a mudança em $ U $ estaria associada a uma mudança de massa na onda, $ \ Delta m \ sim \ mu \ Delta x $ (com $ \ mu $ a densidade linear).