Aceleração gravitacional na Lua e em Marte

Vamos ” vejamos como a aceleração da gravidade é obtida para qualquer planeta, e então podemos aplicar isso à Terra ou à Lua ou o que quisermos.

A Lei da gravitação de Newton nos diz que a magnitude do a força gravitacional entre os objetos de massas $ m_1 $ e $ m_2 $ é dada por \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} onde $ r $ é a distância entre eles centros de massa. Agora, suponha que o objeto 1 é um planeta de massa $ m_1 = M $ e raio $ R $, e o objeto 2 é um objeto muito menor de massa $ m_2 = m $ localizado a uma altura $ h $ acima da superfície do planeta isso é pequeno em comparação com o raio do planeta. A magnitude da força gravitacional entre os dois objetos será \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} por outro lado, a Segunda Lei de Newton diz nós que a aceleração do objeto 2 irá satisfazer \ begin {align} F = ma \ end {align} Combinar esses fatos, ou seja, definir os lados direitos iguais, faz com que a massa $ m $ caia das equações, e a aceleração devido à gravidade do objeto de massa $ m $ torna-se \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} onde na segunda igualdade, executei uma expansão de Taylor da resposta em termos do pequeno número $ h / R $. Observe que para zero ordem, ou seja, a contribuição dominante quando o objeto 2 está próximo à superfície do planeta, é alguma constante que é independente da altura e depende apenas da massa e do raio do planeta; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Isso é precisamente o que costumamos chamar de aceleração devido à gravidade perto do superfície de um planeta. Se você inserir os números para a Terra, obterá \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ approx 9,8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} e I ” Vou deixar para você determinar o número de outros planetas. A propriedade importante desta aceleração devido à gravidade é que ela escala linearmente com a massa $ M $ do planeta, e escala como a segunda potência negativa do raio do planeta.

Comentários

• Acho que também é útil mencionar os efeitos da força centrífuga, devido à velocidade angular de um corpo celeste. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Outro efeito disso é que o próprio corpo se projeta ao redor do equador, aumentando o raio da superfície perto do equador (diminuindo perto dos pólos).

A constante de aceleração gravitacional definida como $ g $ para a Terra depende da massa da Terra e da distância dela. A fórmula é $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Veja Newtons L aw da Gravitação Universal para mais detalhes). Portanto, $ g $ não é uma constante nem mesmo na Terra, mas depende da sua altitude, embora devagar. Se você estiver na lua, a massa da lua $ (~ 10 ^ {22} kg) $ é menor que a da terra $ (~ 10 ^ {24} kg) $ e, portanto, a força gravitacional que você sentiria, $ mg $ seria muito menor devido ao fato de $ g $ ser menor, cerca de $ 1,62 m / s ^ 2 $.

Além disso, as unidades de $ g $ são $ m / s ^ 2 $ e não $ N / s ^ 2 $

Uma maneira fácil de pensar sobre isso é considerar que a aceleração da gravidade, na superfície de, digamos, um corpo planetário, depende essencialmente de duas quantidades: a massa do corpo e o raio .

A aceleração da superfície aumenta com a massa do corpo (se você dobrar a massa, você dobra a aceleração) e diminui com o quadrado do raio (se você dobrar o raio, a aceleração é dividida em quatro partes).

Assim, por exemplo, o raio da Lua é cerca de 0,273 vezes o raio da Terra, mas a massa da Lua é cerca de 0,0123 da massa da Terra. Portanto, esperaríamos que a aceleração na superfície da Lua fosse

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

e, com certeza, a gravidade da superfície da Lua é de cerca de $ 1,62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Então, se você conhece a massa e raio de, digamos, Marte, você pode determinar a gravidade da superfície de Marte da seguinte maneira:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $