Buracos negros e som

A definição para decibéis acústicos é

$$ L = 20 \ log_ {10} \ frac {P} {P_0} $$

onde a pressão de referência é $ P_0 = 20 \, \ mu \ mathrm {Pa} $ no ar. Assim, $ L = 1100 \, \ textrm {dB} $ daria

$$ P = 2 \ vezes 10 ^ {50} \, \ mathrm {Pa}. $$

Não há física até aqui, apenas definições. A essência da afirmação, eu acho, é aplicar acústica ingenuamente, mesmo que a pressão seja muito alta para fazer algum sentido. A densidade de energia de uma onda seria

$$ w = \ frac {P ^ 2} {\ rho c_s ^ 2} $$

onde $ \ rho $ é a massa densidade e a $ c_s $ a velocidade do som. Para ar, $ \ rho \ approx 1 \, \ mathrm {kg} / \ mathrm {m} ^ 3 $ e $ c_s \ approx 300 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} $, então

$$ w \ approx 10 ^ {98} \, \ mathrm {J} / \ mathrm {m} ^ 3. $$

O que fazer com esse número? Não tenho certeza. Um buraco negro se forma quando 3-4 massas solares colapsam. A energia total correspondente, ingenuamente usando $ E = mc ^ 2 $, é $ E_ \ bullet \ approx 10 ^ {48} \, \ mathrm {J} $. Claramente, como @AndersSandberg também descobriu, essa energia de onda acústica é muito maior do que esse limite. Então colapso, sim, mas o número específico de 1100 dB me fez acreditar que este seria um limite.

Outra ideia seria considerar quão pequeno um volume nos levaria ao limite do colapso do buraco negro: se a densidade de energia $ w $ acima está contida em um volume $ V = E_ \ bullet / w = 10 ^ {- 50} \, \ mathrm {m} $, estamos lá. Isso seria um cubo de dimensão $ \ approx 10 ^ {- 17} \, \ mathrm {m} $, que é 1/100 do raio de um próton. Isso não faz nenhum sentido particular.

Podemos executá-lo ao contrário tomando um volume de $ V = 1 \, \ mathrm {m} ^ 3 $, e requerendo $ w = E_ \ bullet / V \ approx 10 ^ { 48} \, \ mathrm {J} $, que usando a fórmula acústica para $ w $ dá $ P \ approx10 ^ {26} \, \ mathrm {Pa} $ e, portanto, um nível de $ \ approx 600 \, \ mathrm {dB} $. Portanto, dessa perspectiva, a declaração deveria ser 600 dB em vez de 1100 dB. Observe que isso não é a mesma coisa que @AndersSandberg calculou.

Comentários

• Observe que se você tiver 10 ^ 98 J, terá 10 ^ 50 massas solares por metro cúbico. Parece muito flexível.
• Sim, claro. No entanto, interpretei a reclamação relatada pelo OP como um limite. Mas isso não funciona. Eu deveria ter sido mais claro. Eu estava trabalhando na minha resposta enquanto você postava a sua, então não percebi, a propósito.

A frase não é verdadeira: parece que o som não pode formar um buraco negro.

Um som de intensidade $ P $ Watts por metro quadrado tem um nível de potência sonora $ L = 10 \ log_ {10} (P / 10 ^ {- 12}) $ decibéis. Se virarmos a equação, $ P = 10 ^ {(L / 10) -12} $ Watt. Portanto, um som de 1100 dB tem intensidade $ 10 ^ {98} $ Watt por metro quadrado.

A intensidade de Planck, onde o nível de energia é suficiente para causar efeitos gravitacionais, é $ 1,4 \ cdot 10 ^ {122} $ Watts por metro quadrado.

Então, estamos cerca de 24 ordens de magnitude abaixo do ponto onde o som começará a afetar o espaço-tempo. Fazer buracos negros dessa maneira não parece funcionar. Precisamos de 1340 dB!

Comentários

• Observe que a intensidade do som é frequentemente relatada em dB SPL , que é a pressão sonora referida a um nível de referência de $ 20 \, \ mu \ mathrm {Pa} $.