Foi-me dado um problema para o dever de casa em que precisávamos calcular o tempo para um objeto em queda atingir uma certa velocidade ao contabilizar a força de arrasto. Eu fiz isso configurando a aceleração em função da velocidade e integrando (era uma equação diferencial).
No entanto, este é um curso introdutório à física, sem nenhum conhecimento de cálculo necessário. Ainda nem fizemos derivadas, estritamente falando. Tive a sorte de ter feito cálculo antes, então fui capaz de reconhecer e resolver a equação diferencial.
Quando perguntei aos meus colegas como faziam isso, eles disseram que bagunçaram os números até encontrarem algo que funcionasse (estava online sem dedução de pontos por respostas erradas Para a maioria deles, eles apenas dividiram a velocidade terminal pela aceleração da gravidade, o que não faz sentido, já que nem sequer nos foi perguntado o tempo que levamos para atingir a velocidade terminal, mas 63% dele. Esse método acabou de arredondar para o mesmo número que o correto.
Minha pergunta é: há alguma maneira de encontrar esse valor usando a física elementar ou meu professor nos deu um problema injusto? Os assistentes não foram de nenhuma ajuda e eu tenho aulas durante o horário de expediente.
A pergunta em si é a seguinte:
O a velocidade terminal de uma gota de chuva de 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg é de cerca de 9 m / s. Assumindo uma força de arrasto $ F_D = −bv $, determine o tempo necessário para que essa queda, começando do repouso, alcance 63 % da velocidade terminal.
Comentários
- Já que a resposta envolve um exponencial / logaritmo unilateral ou outro, seria necessário desenvolver algum tipo de solução envolvendo um exponencial / logaritmo. Escolha o seu veneno … Tenho a sensação de que ' vai ser uma aproximação do cálculo.
- Acho que uma solução envolvendo logaritmos seria um jogo justo. Nós ' esperamos saber disso. O problema é que eu posso ' t pela minha vida, pense em alguma maneira de fazer isso que não ' t envolva uma equação diferencial. Talvez eu t ' s porque eu ' estou acostumado a resolver problemas dessa maneira depois de fazer cálculo. Se alguém pudesse sugerir outro método, ficaria muito grato.
- É ' possivelmente relacionado que 63% é $ 1 – e ^ {- 1} $
Resposta
Se a força de arrasto está sendo modelada como uma função linear de velocidade $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, então o problema é direto . O equilíbrio de força vertical para uma gota em queda é $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ que dá a seguinte equação diferencial para a velocidade: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ No caso limite da velocidade máxima / aceleração zero $ (\ dot {v} = 0) $, o equilíbrio de força simplifica para $$ mg = bv_ {max} , $$ ou $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Voltando à nossa equação diferencial, se a velocidade inicial $ v (0) = 0 $, então a solução para este ODE é $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Definindo a constante de tempo como $ \ tau = \ frac { m} {b} $ e usando a definição da velocidade terminal, a evolução temporal da velocidade simplifica para $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ A posição, se desejado, é encontrada facilmente realizando outra integração: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Supondo que a posição inicial $ y (0) = 0 $ e simplificando, a solução para a posição vertical é então $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Portanto, agora temos soluções analíticas para a aceleração, velocidade e posição do objeto em queda em função do tempo e dos parâmetros do sistema, todos os quais são conhecidos ( exceto para $ b $). Observe, entretanto, que o tempo solicitado para atingir a velocidade de $ 0,63v_ {max} $ não é arbitrário. Após a passagem de uma constante de tempo, teremos $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0,63212 = \ boxed {63,212 \%}. $$ Assim, simplesmente precisamos calcular o valor da constante de tempo e o valor resultante será sua resposta. Quanto aos seus colegas, eles não estão errados. Nosso objetivo é calcular $ \ tau $, e se você olhar cuidadosamente em nossa matemática anterior, verá que $ \ tau $ é igual à velocidade terminal dividida por $ g $. Os gráficos de oitava das funções de posição, velocidade e aceleração estão incluídos abaixo para referência (substitua $ k $ por $ b $ no segundo gráfico).
Comentários
- Sim, nunca nos ensinaram isso equação que você vinculou. Mas obrigado, isso é exatamente o que eu estava procurando.Eu só queria saber se havia um método mais geral para resolver essa questão que deveríamos ser capazes de descobrir, e parece que a resposta é não.
- @JakeChristensen Ainda pode haver outro maneira de encontrar sua resposta, mas lembre-se de que Cálculo (pelo menos Newton ' s Cálculo) foi inventado para resolver problemas de Física 😉
Resposta
Normalmente o arrasto é proporcional à velocidade ao quadrado e, portanto, a aceleração para baixo é
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
A solução para tal movimento é $$ \ begin {alinhados} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {alinhados} $$
Portanto, conecte a velocidade $ v $ que você deseja atingir e ela fornecerá a distância $ x $ e $ t $ para alcançá-lo.
PS. Se você não conhece o parâmetro de arrastar $ \ beta $ , mas em vez disso conhece a velocidade máxima, pode estimá-la a partir da velocidade máxima, resolvendo $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Resposta
1) Encontre a força de arrasto na velocidade terminal. 2) Multiplique esta força por 0,63 (63%) 3) Divida esta nova força pela massa da gota de chuva 4) Use o tempo de aceleração da velocidade equação cinemática para resolver o tempo $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Comentários
- Isso não ' t correto. Você assume que a aceleração é constante (o que explicitamente não está em qualquer questão envolvendo mudanças de velocidade e resistência do ar) . Eu ' estou assumindo aqui que $ a (t) $ significa $ a * t $, já que se você quer dizer $ a $ como uma função de $ t $, isso não faz sentido em todos.