Como a velocidade do som pode aumentar com o aumento da temperatura?

A velocidade do som é dada por:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

onde $ P $ é o pressão e $ \ rho $ é a densidade do gás. $ \ gamma $ é uma constante chamada de índice adiabático . Esta equação foi concebida primeiro por Newton e depois modificada por Laplace com a introdução de $ \ gamma $ .

A equação deve fazer sentido intuitivamente. A densidade é uma medida de quão pesado é o gás, e coisas pesadas oscilam mais lentamente. A pressão é uma medida de quão rígido é o gás, e coisas rígidas oscilam mais rápido.

Agora vamos considerar o efeito da temperatura. Quando você está aquecendo o gás, você precisa decidir se você está vamos manter o volume constante e deixar a pressão aumentar, ou manter a pressão constante e deixar o volume aumentar, ou algo intermediário. Vamos considerar as possibilidades.

Suponha que mantemos o volume constante, em caso em que a pressão aumentará à medida que aquecemos o gás. Isso significa que na equação (1) $ P $ aumenta enquanto $ \ rho $ permanece constante, então a velocidade do som sobe. A velocidade do som está aumentando porque estamos efetivamente tornando o gás mais rígido.

Agora, suponha que mantemos a pressão constante e deixamos o gás expandir à medida que é aquecido. Isso significa que na equação (1) $ \ rho $ diminui enquanto $ P $ permanece constante e novamente a velocidade de aumento de som. A velocidade do som está aumentando porque estamos tornando o gás mais leve, de modo que oscila mais rápido.

E se tomarmos um curso do meio e deixarmos a pressão e o volume aumentarem, $ P $ aumenta e $ \ rho $ diminui e novamente a velocidade do som aumenta.

Então, faça o que fizermos , aumentar a temperatura aumenta a velocidade do som, mas o faz de maneiras diferentes dependendo de como deixamos o gás se expandir conforme é aquecido.

Apenas como uma nota de rodapé, um gás ideal obedece à equação de estado:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

onde $ n $ é o número de moles do gás. A densidade (molar) $ \ rho $ é apenas o número de moles por unidade de volume, $ \ rho = n / V $ , o que significa $ n = \ rho V $ . Se substituirmos $ n $ na equação (2), teremos:

$$ PV = \ rho VRT $$

que reorganiza para:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Substitua isso na equação (1) e obtemos:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

então:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

que é onde entramos. No entanto, nesta forma, a equação esconde o que realmente está acontecendo, daí a sua confusão.

Experimentalmente, a constante de proporcionalidade para a equação acima é de aprox . 20.

Comentários

• Só queria que você soubesse que sua resposta ainda está ajudando as pessoas 6 anos depois … I ‘ passamos cerca de uma hora tentando encontrar uma explicação intuitiva para esta fórmula e você ‘ resumiu tudo muito bem em algumas frases 🙂

Ótima pergunta. A resposta curta é que sua intuição (sobre coisas densas com velocidades de som mais rápidas) provavelmente é influenciada por diferentes materiais na mesma temperatura e contaminada por sólidos, quando o problema aqui é realmente sobre gases, que são diferentes.

Vejamos alguns dados:

O ar é esparso e tem uma velocidade de som baixa de 760 mph. Coisas mais pesadas como o cobre são densas e têm uma velocidade de som mais rápida.O aço tem uma velocidade de som de 10.000 mph !

Então sua intuição não é tão ruim, certo?

E quanto ao ar frio versus ar quente? O ar frio é mais denso, mas tem uma velocidade de som menor! Aqui é onde podemos ver seu adorável paradoxo.

Acontece que a repulsão devido a ondas de compressão externas (o que você chamou de ondas mecânicas) em um sólido como um metal são criadas a partir de mecanismos diferentes de um gás compressível. Uma onda de pressão em um sólido comprimirá íons relativamente estacionários em uma rede. A rede é muito forte e os átomos não se movem, mas podem vibrar. Se você apertar um pouco de aço, estará comprimindo um pouco essa rede, mas a dependência funcional dos campos elétricos nesta rede é bastante complexa. Em relação para a questão aqui, um resultado esperançosamente óbvio é que a dependência da temperatura não será muito forte, uma vez que a função de força (distância) determina a rapidez com que uma perturbação viaja através da rede e a energia que você dá aos átomos na rede ganha “isso muda muito a relação da curva de força-distância-rede de interesse aqui.

Um gás é uma besta muito diferente porque há apenas um monte de partículas independentes voando. Aqui, a velocidade do som é , basicamente, uma média ponderada das moléculas de gás mais rápidas que naturalmente se movem com a raiz quadrada da energia / temperatura.

Em comparação com um sólido, a questão de qual é a velocidade do som em um gás é totalmente trivial. Leia th é ou isso ou para ter uma ideia de como os sólidos são mais complexos. Se eu desse aos físicos apenas as propriedades atômicas (não coisas como o módulo de massa) de um sólido como o cobre e também de um gás como O $ _ \ rm 2 $, eles só seriam capazes de calcular, pelo menos com uma calculadora simples, a velocidade do som em O $ _ \ rm 2 $.

Uma maneira rápida de corrigir sua intuição é observar a velocidade do som em um sólido em zero absoluto versus um gás. Apenas o último é zero. Na verdade, é por isso que os gases não podem existir perto do zero absoluto. As moléculas em um gás frio o suficiente nem mesmo têm energia suficiente para se separarem, então elas precisam ser líquidas ou sólidas.

Espero que agora você veja que suas experiências anteriores realmente só se aplicaram para materiais diferentes, não para materiais individuais em função da temperatura.

As ondas sonoras se propagam através de um meio como resultado de colisões entre moléculas. Em temperaturas mais altas, as moléculas têm maior energia cinética e, conforme se movem mais rápido, suas colisões ocorrem com maior frequência e carregam ondas sonoras com mais rapidez. Maior energia cinética = menos inércia = maior velocidade.

No entanto, como as ondas sonoras são ondas compressivas que viajam através de um meio compressível, sua velocidade depende não apenas da inércia do meio, mas também de sua elasticidade.

Geralmente, quanto mais próximas as moléculas estão, mais rápido elas irão carregam ondas sonoras. Embora a distância entre as moléculas tenda a aumentar quando um meio é aquecido, isso é relativamente menos importante para a velocidade do som em um determinado meio do que o movimento mais rápido das moléculas.

Quanto maior a temperatura implica em maior velocidade para a molécula, de modo que ela colide com a próxima molécula em um momento mais rápido, mesmo que estejam longe de cada uma. por outro lado, a temperatura mais baixa. significa menor velocidade e, portanto, também pode colidir com seu vizinho próximo por mais tempo. merci!

Sabemos que a temperatura e a energia cinética são diretamente proporcionais. Quando a temperatura aumenta, a energia cinética das moléculas de ar aumenta e as moléculas se movem mais rapidamente. Devido a que a propagação do som é feita rapidamente, aumentando a velocidade.