Como calcular a altura de uma treliça hcp?

Vamos tentar usando as semelhanças entre hcp e ccp. Aqui, sabemos que $ hcp $ e $ ccp $ têm estrutura semelhante, exceto o fato de que $ hcp $ é do tipo ABAB, enquanto $ ccp $ é do tipo ABCABC. Conseqüentemente, também sabemos que a fração de empacotamento $ (\ phi) $ é a mesma e $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Agora, como você mencionou Volume da rede hcp $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Existem 6 átomos no total em hcp. Portanto, $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Simplificando, obtemos a altura da lattice hcp $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Comentários

• Obtemos que a fração de embalagem é igual após avaliar o volume da altura, etc. Sua resposta está retrocedendo.

Para calcular a altura de uma célula unitária, considere um vazio tetraédrico em um arranjo de embalagem hexagonal fechado. Pode ser imaginado como 3 esferas sólidas se tocando e no ponto central, você tem outra esfera empilhada sobre elas. Uma versão interativa pode ser visualizada neste site . A situação é a seguinte:

Se você unir os centros dessas quatro esferas, obterá um tetraedro. Basicamente, é uma pirâmide com base triangular. Estou assumindo que cada aresta de nosso tetraedro é igual a $ a $.

Agora, você tem uma pirâmide ($ ABCD $), com uma base equilátera ($ \ Delta BCD $), gostaria que você baixasse uma perpendicular do ponto mais alto ($ A $) ao centro ($ G $) da base triangular. Se você estiver me seguindo corretamente, terá uma figura como esta:

Tudo o que precisamos faça agora é calcular o comprimento $ AG $. Para isso, basta usar o teorema de Pitágoras em $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Embora saibamos que $ AD = a $, o lado $ GD $ permanece desconhecido. Mas isso é fácil de calcular. O ponto $ G $ é o centroide de $ \ Delta BCD $. Assim, o comprimento $ GD $ é igual a $ a / \ sqrt {3} $. Inserindo os valores em nossa primeira equação, obtemos $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Mas observe que esta é a metade da altura de nossa célula unitária. Portanto, a altura exigida é $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

Na estrutura hexagonal mais compacta, $ a = b = 2r $ e $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , onde $ r $ é o raio atômico do átomo. Os lados da célula unitária são perpendiculares à base, portanto $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

Para um mais próximo empacotada, os átomos nos cantos da base da célula unitária estão em contato, assim $ a = b = 2 r $ . A altura ( $ c $ ) da célula unitária, que é mais difícil de calcular, é $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Deixe a borda da base hexagonal ser $ a $

E a altura do hexágono igual $ h $

E raio da esfera igual a $ r $

A esfera central da primeira camada fica exatamente sobre o vazio da segunda camada B.

A esfera central e as esferas da 2ª camada B estão em contato

Então, em $ \ Delta PQR $ ( um triângulo equilátero):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Desenhar $ QS $ tangente em pontos

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Portanto, no cálculo da eficiência de embalagem de hcp arr ângulo, a altura da célula unitária é considerada como $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

DE

Comentários

• O que significa o triângulo de pontos?
• Como o ângulo QRS tem 30 graus?