Como calcular o erro padrão da média (SEM) em vários pontos no tempo

O erro padrão é o desvio padrão de um estimador ; o SEM, portanto, surge quando você está usando a média da amostra como um estimador da verdadeira média da população subjacente. Nesse caso, o erro padrão estimado geralmente será muito menor do que o desvio padrão da amostra dos pontos de dados originais, uma vez que o estimador médio é menos variável do que os próprios dados.

Para ver como isso funciona mais especificamente , seja $ X_1, …, X_n \ sim \ text {IID Dist} $ seus valores de amostra observáveis e seja $ \ bar {X} = \ sum_ {i = 1} ^ n X_i / n $ a amostra resultante média, que é considerada um estimador da média da população subjacente $ \ mu = \ mathbb {E} (X_i) $. Se deixarmos $ \ sigma ^ 2 = \ mathbb {V} (X_i) $ ser a variância da população subjacente, então o verdadeiro erro padrão da média da amostra é:

$$ \ begin {equation} \ begin {alinhado} \ text {se} \ equiv \ text {se} (\ bar {X}) \ equiv \ mathbb {S} (\ bar {X}) & = \ sqrt {\ mathbb {V} (\ bar {X})} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ mathbb {V} \ Big (\ frac {1} { n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i \ Big)} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 2} \ sum_ { i = 1} ^ n \ mathbb {V} (X_i)} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ frac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n \ sigma ^ 2} \\ [6pt] & = \ sqrt {\ frac {n \ sigma ^ 2} {n ^ 2}} \\ [6pt ] & = \ sqrt {\ frac {\ sigma ^ 2} {n}} \\ [6pt] & = \ frac { \ sigma ^ 2} {\ sqrt {n}}. \\ [6pt] \ end {align} \ end {equation} $$

Substituir o parâmetro desconhecido $ \ sigma $ pelo desvio padrão da amostra observável $ s $ produz o erro padrão estimado :

$$ \ widehat {\ text {se}} = \ frac {s ^ 2} {\ sqrt {n}}. $$

O erro padrão estimado é e não uma estimativa da dispersão de os dados subjacentes; é uma estimativa da dispersão do estimador em seu problema, que é a média da amostra neste caso. Como as médias da amostra sobre todos os valores observados, é muito menos variável do que os valores iniciais. Especificamente, podemos ver a partir do resultado acima que o erro padrão estimado da média é igual ao desvio padrão da amostra dos dados subjacentes, dividido por $ \ sqrt {n} $. Agora, obviamente, conforme $ n $ fica maior, o SEM será substancialmente menor do que o desvio padrão da amostra dos dados subjacentes.

Depois de calcular o SEM estimado, é comum usar isso para forneça um intervalo de confiança para a média da população subjacente verdadeira $ \ mu $ em algum nível de confiança especificado $ 1- \ alpha $. Isso pode ser feito usando a fórmula de intervalo padrão para uma média populacional:

$$ \ text {CI} _ \ mu (1- \ alpha) = \ Big [\ bar {X} \ pm t_ { n-1, \ alpha / 2} \ cdot \ widehat {se} \ Big] = \ Big [\ bar {X} \ pm \ frac {t_ {n-1, \ alpha / 2}} {\ sqrt {n }} \ cdot s \ Big]. $$

Ao contrário do objetivo declarado em sua pergunta, nunca é uma boa ideia relatar o intervalo $ \ bar {X} \ pm \ widehat {se} $; este é apenas um intervalo de confiança usando o estranho requisito de que $ t_ {n-1, \ alpha / 2} = 1 $, o que pode ser enganoso para o seu leitor. Em vez disso, você deve escolher um nível de confiança razoável $ 1- \ alpha $ e fornecer um intervalo de confiança adequado, relatando seu nível de confiança ao leitor.

Aplicação aos seus dados: Parece a partir de sua análise que você está procurando agregar seus dados, ignorando as covariáveis do valor de tempo e, portanto, analisando-os como uma única amostra IID. Essa não é necessariamente a melhor forma de analisar os dados, mas irei proceder dessa forma para usar o seu método, para focar nos aspectos do SEM da sua pergunta. Nesta base, você tem $ n = 30 $ e $ s = 0,7722 $ (que calculei a partir dos trinta valores em sua tabela). O erro padrão estimado da média deve ser $ \ widehat {\ text {se}} = 0,7722 / \ sqrt {30} = 0,1410 $. Não está claro para mim como você obteve o valor contrário relatado em sua pergunta.

Em qualquer caso, você pode ver que o erro padrão estimado $ \ widehat {\ text {se}} = 0,1410 $ é substancialmente inferior ao desvio padrão da amostra $ s = 0,7722 $. Conforme observado acima, isso não é surpreendente, uma vez que o primeiro é o desvio padrão estimado de uma média da amostra e a média da amostra é menos variável devido à média em vários pontos de dados. Tomando $ \ alpha = 0,05 $ obtemos $ t_ {n-1, \ alpha / 2} = t_ {29,0.025} = 2,0452 $, então o intervalo de confiança de $ 95 $% resultante para a verdadeira média da população é:

$$ \ text {CI} _ \ mu (0,95) = \ Grande [7,7920 \ pm 2,0452 \ cdot 0,1410 \ Grande] = \ Grande [7,7920 \ pm 0,2884 \ Grande] = \ Grande [7,5038, 8,0804 \ Big]. $$

Conforme observado, esta análise ignora os dados de tempo e simplesmente trata todos os valores como uma única amostra IID, por isso é importante lembrar que este intervalo de confiança depende do tratamento de os dados (que parecem ser o que você procura). Esta não é a melhor forma de análise; uma abordagem melhor seria usar a covariável de tempo em um modelo de regressão.

Observe que SEM não é o erro de as amostras em comparação com a média, é o STD dos estimadores médios.

Para ser mais claro, o STD da distribuição deve permanecer quase o mesmo quando você vai para um grande número de amostras, mas o estimador médio, na verdade converge e seu erro vai para 0.