Minha pergunta é como calcular o erro do tipo II $ \ beta $?
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Suponha que eu queira testar $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (eu preciso calcular o erro tipo II $ \ beta $, então preciso consertar $ \ mu $, digamos 1, em $ H_1 $).
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Suponha que a distribuição de $ H_0 $ seja $ F_0 $, $ H_1 $ é $ F_1 $, onde $ E [\ xi] = 0 $ se $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ se $ \ xi \ sim F_1 $.
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Agora eu crio um estimador para $ \ mu $, digamos $ \ bar {X} _n $, e uma estatística de teste $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (vamos supor $ \ sigma $ é conhecido).
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Agora eu crio uma regra de rejeição ($ H_0 $): $ S_n > b $.
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O erro do tipo II é calculado como $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Minhas perguntas são (quero verificar três coisas):
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A lógica de construção acima está correta, certo?
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A distribuição em “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” é $ F_1 $, certo?
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[a maioria se preocupa com] O $ S_n $ em “$ P_ {F_1} (S_n > b) $” deve usar $ F_0 $ para calcular, certo?
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Quer dizer, não importa o erro do tipo I ou do tipo II que estou calculando, sempre preciso usar $ F_0 $ para calcular as estatísticas do teste, certo?
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Quero dizer, $ S_n $ é sempre $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ no cálculo de erro tipo I ou tipo II ação, mas não $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ no cálculo de $ \ beta $, certo?
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Ou, isso não deve ser um problema, porque as estatísticas de teste são apenas uma função de amostra e não devem envolver parâmetros?
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Comentários
- O erro do tipo II não é rejeitar a hipótese nula quando é falsa, ou seja, $ H_1 $ é verdadeira. Eu acho que você deveria usar $ F_1 $ para calcular P, mas não $ F_0 $ como você escreveu $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Você também pode consultar o cálculo de potência que se baseia no parâmetro $ H_1 $ e Tipo II $ \ beta $ = 1 potência
- Obrigado! Você está certo. Eu cometi um erro. É $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ para o erro do tipo II.
Resposta
Denote $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ seja a distribuição sob a hipótese nula e $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ abaixo de $ H_1 $, então você tem uma estatística de teste $ X $ e deseja testar
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ versus $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Da maneira como você o descreve, você deseja realizar um teste unilateral e define a região crítica na cauda direita. Então, depois de escolher um nível de confiança $ \ alpha $, você usará a distribuição $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ para encontrar o valor de quantil $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ tal que $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (estou assumindo distribuições contínuas). O superíndice $ (0) $ indica que as probabilidades são medidas em $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, então você precisa da distribuição nula $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ para definir a região crítica, ou seja, o quantil $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
A partir de uma amostra, você pode observar um resultado $ x $ para a variável aleatória $ X $ e o nulo será rejeitado quando $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Em outras palavras, seu teste decidirá que $ H_1 \ textrm {decidiu como verdadeiro} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
O poder do seu teste é a probabilidade de que $ H_1 $ seja decidido como verdadeiro sempre que $ H_1 $ for verdadeiro , então a potência é a probabilidade de $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ sempre que $ H_1 $ for verdadeiro, este é o probabilidade de $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ quando a distribuição verdadeira é $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ ou a potência $ \ mathcal {P} $ é
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Onde o superíndice $ (1) $ indica que as probabilidades são calculadas em $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Portanto, a potência é medida com $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, mas você precisa do valor de $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, que é calculado com $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Usei o poder $ \ mathcal {P} $ e o erro de tipo II $ \ beta $ é $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
No seu caso
Você está certo quando diz que “” A distribuição em “$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ “é $ F_1 $” “
No entanto, para encontrar $ b $, você terá que usar $ F_0 $. Na verdade, $ b $ é análogo a $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $