Como estudantes de matemática ao longo da vida, descobrimos que a resolução de problemas é absolutamente essencial para melhorar nossa compreensão do assunto. Ensinar aos outros o que sabemos serve para reforçar nosso conhecimento existente e disseminar informações aos alunos.
No entanto, como alguém pode criar problemas “bons”?
Por “bom”, quero dizer problemas instigantes e inspiradores com soluções que são extensíveis a outros domínios. Além disso, isso chega ao nível dos problemas da olimpíada, para os quais os elaboradores de problemas parecem ter um grau notável de engenhosidade e criatividade na elaboração de novos problemas.
Comentários
- Eu me preocupo que esta questão seja muito ampla. Não ‘ quero dizer que não podemos ‘ t decidir o que ” é bom ” significa, em termos de um problema matemático. Mas, em vez disso, essa definição depende fortemente de (i) para quem o problema foi projetado e (ii) que tipos de conteúdo / técnicas matemáticas eles deveriam usar. Ou seja, um ” bom ” problema para frações de aprendizagem de um aluno do 6º ano é muito diferente de um ” bom ” problema para mostrar a um estudante de economia como o cálculo é útil em sua disciplina.
- Eu concordaria que seria melhor ter isso limitado a um único tópico em matemática, por exemplo, como criar bons problemas de topologia.
- Alguns de meus professores tinham um talento imbatível para escrever trabalhos de casa / exames nos quais você aprendia muito resolvendo os problemas. Outros apenas deram problemas enfadonhos. Os primeiros eram geralmente muito mais desafiadores no geral, mesmo que não ” mais difíceis ” em nenhum sentido. Se você examinar os problemas propostos nos livros didáticos, ‘ verá o mesmo. Eu ‘ receio que seja, em grande medida, um talento difícil de transmitir.
- Um dos maiores problemas que encontrei na educação anterior era que não havia contexto fornecido para o problema que estávamos resolvendo. Colocá-los em contexto pode ajudar um pouco. Por exemplo, considere a fatoração de um polinômio. Se você colocá-lo no contexto de otimização em cálculo (resolvendo os zeros de uma derivada), seu uso se torna aparente. Utilizar a palavra problemas apresentados em materiais mais avançados e, em seguida, pedir-lhes que resolvam a parte que lhes foi ensinada (no exemplo acima, fazer com que fatorem uma derivada pré-computada) é uma estratégia válida para apresentar problemas em um contexto correto.
Resposta
Visto que sua pergunta é muito ampla, aqui está uma resposta um tanto ampla: Leia sobre a colocação de problemas.
As três peças principais são:
Silver, EA (1994). On Mathematical Problem Posing. Para a aprendizagem da matemática, 14 (1), 19-28.
e o livro
Brown, SI, & Walter, MI (2005). A arte de colocar problemas . Psychology Press.
Este último é uma reimpressão de um livro que saiu pela primeira vez em 1983. Você também pode encontrar um livro relacionado editado por Brown e Walter; uma citação para a versão mais recente é:
Brown, SI, & Walter, MI (Eds. ) (2014). Colocação de problemas: reflexões e aplicações . Psychology Press.
Comece com esses três documentos, suas referências e (pesquisando no google scholar) outros documentos e artigos que os citaram.
Para esboçar uma sugestão aproximada de Brown e Walter: comece com um cenário matemático, liste as suposições, varie as restrições (em seus termos: ” What-if- não-ing “) e, em seguida, faça perguntas. Você pode até ” dar um ciclo ” por meio desse processo repetidamente para produzir problemas de complexidade crescente.
É claro que a apresentação de problemas traz consigo o perigo de não saber a resposta para o que você está perguntando.
Por exemplo , seu cenário inicial pode usar o Teorema de Pitágoras:
Encontre todas as soluções de inteiros para $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Este exemplo particular é explorado no livro de Brown e Walter, mas parece-me que uma suposição razoável para listar é que o expoente em todos os lugares é $ 2 $ e para solicitar soluções inteiras quando o expoente é $ 3 $ .. .. ou, se alguém se sentir particularmente ousado, generalizar e pedir o expoente $ k \ geq 3 $ .
À primeira vista, pode parecer uma pergunta razoável; mas, se você estiver familiarizado com o Último Teorema de Fermat, então perceberá que este não é um problema apropriado para a maioria dos alunos.
Você pode encontrar algumas de minhas breves observações sobre apresentação de problemas e criatividade em parte $ 4b $ aqui , e alguns outros exemplos relacionados à colocação de problemas e à intuição no exemplo concreto seção aqui .
Uma observação final: Você começa mencionando o ” essencial ” papel da resolução de problemas no aprimoramento de nossa compreensão da matemática. Pode ser interessante notar que o problema de pose desempenha um papel importante em resolvendo; considere a lista de heurísticas de Polya e quantas delas são perguntas: O que é um problema relacionado? O que é um problema mais simples? Como posso generalizar esse problema? Etc. (Historicamente, tanto Silver, na primeira peça citada acima, quanto Kilpatrick, na formulação do problema , traçam essa observação, ou seja, que a apresentação do problema é parte integrante da solução do problema, pelo menos de volta a um artigo de 1945 de Karl Duncker.)
Como Cantor (1867) escreveu em sua tese de doutorado:
“In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”
(“ Em matemática, a arte de fazer perguntas é mais valiosa do que resolver problemas ”).
Comentários
- Enquanto eu ‘ sou fã de P ó lya ‘ s livro, temo que pressupõe que você recebe todos os dados necessários e apenas os dados necessários, muitos integrados . ” Os problemas ” do mundo real são, em grande parte, sobre como descobrir o que é relevante e o que não é ‘ t, e recolhendo missin g data.
- @vonbrand Além de olhar para alguns dos livros subsequentes da Polya ‘ (pós- Como resolver ) eu ‘ d sugere, para problemas ” do mundo real “, investigando a literatura sobre modelagem matemática. A interseção de modelagem matemática e educação matemática ainda pode ser penteada completamente; comece com o trabalho de Pollak ‘ s (relevante: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) e mova a suas citações …
Resposta
Para mim, talvez haja três tipos principais de problemas que eu atribuir:
- Desenvolvimento de habilidades de rotina : ambos são modelados em um cálculo que eu mostrei problemas semelhantes resolvidos, ou, são um problema de prova que é apenas uma consequência natural da definição com pouca técnica extra necessária. Para um curso de prova, muitos problemas são pouco mais do que um convite para se preocupar com o que a notação realmente significa.
- Amplitude de descoberta : em todos os cursos existem certos tópicos para os quais não temos tempo suficiente de aula. É uma experiência muito gratificante para os alunos serem guiados por um pequeno módulo de problemas onde eles descobrem as características essenciais de um tópico que não é abordado em profundidade por aulas teóricas e outros materiais.
- Desafio : aqui não há trilhos, nem caixa, nem expectativa de que alguém no curso resolva. Às vezes, eles são usados para mostrar as limitações de uma família atual de técnicas para resolver problemas, às vezes envolvem alguma intuição difusa que orienta um salto criativo.
Eu suspeito da maioria dos problemas que escrevo e / ou atribuir cabem em 1 ou 2, mas os alunos muitas vezes me acusam de 3. Honestamente, uma das razões pelas quais tento surfar no MSE uma quantidade justa é para avaliar o que é abordado em meus cursos em outras universidades. Além disso, o sabor internacional do MSE me ajuda a obter alguns exemplos do que está acontecendo nas escolas de todo o mundo.
Comentários
- Você está deixando de fora a pergunta capciosa favorita de todos os tempos, onde você tem que inventar algum toque Rube-Goldbergiano para ter algum esperança de resolver o problema. Muitos por aqui são acusados de cometer quebra-cabeças, não exames …
- @vonbrand bem, isso provavelmente seria questionado. Freqüentemente, esses problemas começam com uma resposta, alguma magia negra envolvendo séries ocorre e então o aluno é solicitado a ver um padrão … ha ha ha … mal.
Resposta
Duas sugestões:
1) Participe de workshops e conferências e procure sessões de resolução de problemas ou apresentadores que estão compartilhando seus “problemas favoritos.”Quando os problemas e soluções são discutidos, métodos e abordagens exclusivos aparecem.
2) Construa uma biblioteca e reserve um tempo para ler. Colete livros, PDFs e fontes. Um livro não adequado para os alunos pode ser uma ótima fonte de problemas. (Use Amazon e eBay para obter versões usadas que são muito mais baratas.) Modifique a versão do livro conforme necessário. A criatividade na criação de problemas vem de folhear as fontes.
Comentários
- Confira os sites de olimpíadas de matemática. Procure por notas de aulas, exames (resolvidos), trabalhos de casa … a ‘ rede está repleta desse tipo de coisas.
Resposta
Você não especificou um nível específico, mas acho que sua pergunta tem mérito em qualquer caso. Vou fazer no nível K-8. Primeiro, quero abordar seu requisito específico:
Por “bom”, quero dizer problemas instigantes e inspiradores com soluções que são extensíveis a outros domínios.
Vou interpretar “inspirador” como significando que os alunos terão uma motivação para se envolver na matemática do problema. Por “instigante”, assumirei que você quer dizer que os problemas têm uma alta probabilidade de exigir que os alunos se envolvam em raciocínio matemático produtivo. Essas são características essenciais de boas investigações em um currículo. Ou seja, um bom currículo deve conter atividades e investigações que os satisfaçam.
Certa vez, perguntei a uma conhecida desenvolvedora de currículo de alta qualidade como ela sabia que seus problemas curriculares atendiam aos requisitos de “ educação matemática realista “(que foi a abordagem que inspirou seu currículo. Ela respondeu que eles tiveram que tentar cada atividade com alunos reais muitas vezes no processo de pesquisa e desenvolvimento. os primeiros rascunhos podem ter sido baseados na teoria; na realidade, o currículo concluído foi bastante testado.
Portanto, encontre e colete problemas desenvolvidos por bons designers de currículo. Se necessário, crie sua própria biblioteca de tais problemas.
Uma observação final: você sugeriu que queria problemas cujas soluções fossem extensíveis a outros domínios. Sugiro que seja cuidadoso com esse tipo de suposição ao procurar problemas. O que eles vêm a entender no processo de apresentação de problemas e resolver pode ajudá-los a formar conexão ções entre contextos. No entanto, você pode achar difícil apoiar a noção de “soluções transferíveis de domínio” na boa literatura de educação matemática. Concentre-se mais em que tipo de raciocínio matemático os alunos terão a oportunidade e os recursos para se engajar.