Suponha que temos o Hamiltoniano em $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ Também sabemos $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ e $ A ^ 2 = 0 $, deixando $ W = A ^ {\ dagger} A $
Como podemos expressar $ H $ como $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Até agora, mostrei que se considerarmos os autovalores de $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Implica que $ A | \ psi \ rangle $ e $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ são também autovetores de $ W $ com autovalor $ 1-w $. Usando $ A ^ 2 = 0 $ descobrimos que $ w = 0 $ ou $ 1 $
Não tenho certeza de como você expressa os operadores como matrizes, pois a maioria dos meu curso tem usado a notação de função de onda, eu realmente apreciaria se alguém pudesse explicar as próximas etapas aqui apenas para que eu possa ter um entendimento mais rigoroso disso.
Comentários
- Você pode resolver para A, a partir das 2 equações que você escreveu? assuma os números complexos gerais a, b, c, d como os valores da matriz de A. Suspeito que isso poderia funcionar.
Resposta
Como @MichaelBrown apontou na resposta, para obter o elemento da matriz, você só precisa colocar o operador entre dois estados. Então, no caso de seu hamiltoniano $ H $, os elementos da matriz são dados como $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Devo apontar que $ i $ “s que você usa deve ser o conjunto básico em que você está. Se você tem um estado $ \ psi $, então se $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ apenas do que você pode expressar os elementos da matriz de seu operador desta forma. Se você imprensar o operador entre o próprio estado, você “terminará com a expectativa do estado. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Comentários
- Obrigado por reservar um tempo para responder, no entanto, como eu disse a MichaelBrown, como posso aplicar isso a esta situação? Onde tudo que sei são dois eigenvetores e seus autovalores correspondentes.
Resposta
O elemento de matriz $ O_ {ij} $ de um operador é definido por $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ e é tradicional que o $ i $ index rotule a linha e $ j $ rotule a coluna. Desta forma, a multiplicação da matriz funciona como você esperaria: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ que você pode mostrar inserindo um conjunto completo de estados.
Comentários
- Obrigado por sua resposta, mas como posso aplicar isso a esta situação? Onde tudo que sei são dois autovetores e seus autovalores correspondentes.