Como funciona a flutuabilidade?

Ideia básica

Imagine em sua mente um profundo oceano de água. Imagine uma coluna de água, indo da superfície até a profundidade $ d $. Essa coluna de água tem algum peso $ W $. Portanto, há uma força descendente de magnitude $ W $ nessa coluna de água. Entretanto, você sabe que a coluna de água não está acelerando, então deve haver uma força ascendente de magnitude $ W $ empurrando essa coluna. A única coisa embaixo da coluna é mais água. Portanto, a água na profundidade $ d $ deve estar empurrando para cima com força $ W $. Essa é a essência da flutuabilidade. Agora vamos fazer os detalhes.

Detalhes

O peso $ W $ de uma coluna de água de área de seção transversal $ A $ e altura $ d $ é

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

onde $ \ rho _ {\ text {water}} $ é a densidade da água. Isso significa que a pressão da água na profundidade $ d $ é

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

Agora, suponha que você coloque um objeto com área de seção transversal $ A $ e altura $ h $ na água. Existem três forças nesse objeto:

1. $ W $: O objeto “s próprio peso.
2. $ F _ {\ text {above}} $: A força da água acima do objeto.
3. $ F _ {\ text {below}} $: A força da água abaixo do objeto.

Suponha que o fundo do objeto esteja na profundidade $ d $. Então, o topo do objeto está na profundidade $ d-h $. Usando nossos resultados anteriores, temos

$$ F _ {\ text {below}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {above}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Se o objeto está em equilíbrio, é não está acelerando, então todas as forças devem se equilibrar:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {above}} & = & F _ {\ text {below}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {água}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {água}} \ end { eqnarray} $

onde na última linha definimos o volume do objeto como $ V \ equiv h A $. Isso diz que a condição para o equilíbrio é que o peso do objeto deve ser igual ao seu volume vezes a densidade da água. Em outras palavras, o objeto deve deslocar uma quantidade de água que tenha o mesmo peso do objeto. a lei usual da flutuabilidade.

A partir desta descrição, acredito que você pode estender para o caso do ar em vez da água e do gradiente de pressão horizontal em vez de vertical.

Acho que a pressão atuando na superfície da coisa mais leve tem algo a ver com isso, mas isso é sobre isto.

Este é na verdade o começo e o fim de TODA a história. Isso, em teoria, é tudo que você precisa saber sobre flutuabilidade. Vamos ver como essa afirmação se desenvolve e como ela leva a outras informações que você reuniu sobre flutuabilidade.

Você simplesmente imagina um diagrama de corpo livre para o corpo flutuante / imerso. As únicas forças nele estão a pressão, em todos os lugares normais à superfície do corpo, e o peso do corpo.

A força líquida do fluido circundante no corpo é então:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

onde somamos as forças de pressão $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ agindo sobre os elementos da área $ \ mathrm {d} S $ na direção da unidade normal $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ em função da posição $ \ mathbf {r} $ sobre a superfície da interface $ S $ entre o fluido e o corpo. Isso é tudo que há para fazer. Claro, é difícil ver de (1) sozinho o que acontecerá a um corpo impregnado de fluido, então vamos passar para respostas mais práticas.

Fazemos um pequeno truque: acontece que que você sempre pode assumir para problemas de flutuabilidade que a superfície $ S $ em (1) é um limite fechado de um volume (isto é, mesmo quando você lida com problemas como barcos que, idealmente, são não totalmente submerso e o limite fechado pareceria à primeira vista inaplicável). Primeiro, formamos o produto interno de $ \ mathbf {F} $ com um vetor unitário arbitrário $ \ mathbf {\ hat {u}} $ e então, dada a superfície fechada, podemos aplicar o teorema da divergência para (1) para o volume $ V $ dentro da superfície fechada $ S = \ parcial \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ parcial V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

que, dado o vetor unitário $ \ mathbf {\ hat {u}} $ é arbitrário, significa:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

e devemos imaginar o campo de pressão $ p (\ mathbf {r}) $ que estaria presente no fluido dentro da superfície se o fluido não estivesse sendo deslocado pelo corpo ocupando o volume $ V $. De (2) podemos veja imediatamente o segundo pedaço de kn m omissão de que você já ouviu falar de:

os balões obtêm sua “sensação de abaixamento” de um diferencial . [negrito]

ou seja, não há nenhuma força de empuxo nítida no corpo, a menos que a pressão $ p $ varie de lugar para lugar. Caso contrário, $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ é identicamente zero.

Se você não está totalmente confortável com o teorema da divergência, pense e analise um cubo submerso. Em um fluido onde a pressão não varia com a posição, a força em cada face é exatamente equilibrada pela força oposta na face oposta. Outro caso que dá intuição é uma esfera em um fluido com uma pressão constante em todos os lugares: a força em qualquer ponto é precisamente equilibrada pela força oposta no ponto antípoda. O argumento do teorema da divergência simplesmente permite inferir a generalidade de conclusões como essa que você pode fazer para objetos simétricos.

Agora vamos passar para um campo de pressão que será usado para você como mergulhador; considerando a direção $ \ mathbf {\ hat {z}} $ para baixo, o campo de pressão dentro de um fluido parado na superfície de um planeta de raio muito maior do que as profundidades que precisamos considerar é:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

onde $ \ rho $ é a densidade do fluido, $ g $ a aceleração gravitacional e $ p_0 $ a pressão em $ z = 0 $. Se conectarmos isso em (2), obteremos:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

onde $ V_f $ é o volume de fluido deslocado. Este é, obviamente, o princípio de Arquimedes; é válido para regiões de fluido suficientemente pequenas para que a variação da pressão seja uma função linear da posição. Embora pareça estar dizendo que o “fluido deslocado empurra para trás” tantas explicações vagas do estado de flutuabilidade, isso é um absurdo. O fluido deslocado nem “está lá: o princípio é apenas o resultado da aplicação de truques matemáticos para traduzir o princípio fundamental, que está corporificado no seu texto que citei na primeira linha desta resposta e em (1) e no” pushback de fluido deslocado “apenas um mnemônico para lembrar o princípio.

Dois comentários adicionais são necessários:

1. Em primeiro lugar, observe que a resposta em (4) é independente de $ p_0 $, portanto, se o corpo não for totalmente submerso (como um casco de barco em funcionamento), então podemos simplesmente considerar a interseção do volume com o fluido como sendo o volume $ V $; a interseção da superfície do fluido com o volume limita o volume reduzido e a contribuição de força na face superior é então zero (já que podemos definir $ p_0 = 0 $ arbitrariamente sem alterar nossos resultados).
2. Em segundo lugar, novamente, se você se sentir desconfortável com o teorema da divergência, faça a análise de um cubo com suas bordas verticais e horizontais como um exemplo esclarecedor. Embora a força de pressão varie nas superfícies verticais, as superfícies de pressão em cada face vertical ainda são exatamente opostas às da face oposta. A força líquida é a diferença entre a força nas faces inferior e superior do cubo, que, por (3), é a força calculada pelo princípio de Arquimedes.

Como mergulhador, você sabe que a pressão aumenta quando você vai mais fundo.

Imagine um cilindro mantido verticalmente sob a água. A força no topo do cilindro é a pressão vezes a área (por definição de pressão). Na parte inferior do cilindro, a área é a mesma, mas a força é maior (mais profundo, mais pressão). A diferença entre os dois é a força de empuxo.

Quando você tem um objeto de “qualquer” formato, pode pensar nele como sendo feito de uma infinidade de cilindros finos (canudos com as pontas fechadas, se preferir ) Agora você pode repetir o cálculo para cada um deles. Isso mostra que isso vale mesmo quando o objeto tem uma forma engraçada.

Acontece que a diferença é igual ao peso da água deslocada – mas o acima é menos abstrato, eu acho.

Lembre-se sempre de sua parada de segurança!

Comentários

• Obrigado @floris! Sim, isso faz sentido agora. O problema que eu estava tendo era com o ar, onde eu acreditava que havia uma mudança tão pequena na pressão em um objeto que não poderia ‘ causar flutuabilidade suficiente. Mas quando penso em vez da massa empurrando no topo e na massa empurrando na parte inferior (como você diz), parece totalmente razoável. E, claro, essa massa de empurrar é o que a ” pressão ” é, então a explicação do gradiente de pressão também deve estar correta. Obrigado 🙂

Bem, sempre pensei nisso como uma atração gravitacional de um não -estado de equilíbrio.

Tente imaginar 2 bolas diferentes, uma em cima da outra, caindo do céu (na atmosfera terrestre). Se a bola mais leve estiver em cima da bola mais pesada, a bola mais leve se separará da bola mais pesada. Se a bola mais pesada estiver no topo da bola mais leve, temos 2 opções:

1. Estado de equilíbrio – Significa que a bola mais pesada está diretamente em cima da bola mais leve – Não haverá forças acelerando a bola para os lados – apenas para baixo. As bolas cairão como uma só.
2. A bola mais pesada está ligeiramente para o lado da bola mais leve (elas ainda se tocam). Neste caso, a bola mais pesada vai role para o lado da bola mais leve e irá para baixo da bola mais leve (acelerando mais rápido).

Agora tente imaginar isso com milhões de bolas caindo do céu. É meio lógico para os mais pesados vão abaixo do ligh outros, não é?

(Esta não é realmente uma resposta “física”, é mais apenas um exemplo simples do conceito muito básico)

Comentários

• Ambas as bolas estão sendo aceleradas na mesma taxa. Por que eles se separariam?
• Forças de arrasto irão desacelerar a bola mais leve

Pressão em seu sentido mais simples é apenas uma força atuando sobre uma área. Imagine todas as partículas no ar do carro. A pressão do ar é realmente uma medida da força média com que essas partículas estão empurrando umas contra as outras. Quando trazemos um balão de hélio para flutuar no carro, as partículas de ar empurram as partículas de hélio, e as partículas de hélio empurram as partículas de ar.

Entrando em um pouco de engenharia estática aqui; as forças dos átomos de hélio empurram todas as direções diferentes, mas uma vez que estão todas contidas pelo balão e empurram com a mesma quantidade de força, podemos assumir que todas essas forças se cancelam, e as únicas forças que afetam o balão são um todo é externo. Nesse ponto, sem nenhuma força agindo sobre ele, o balão poderia ser empurrado livremente em qualquer direção com praticamente nenhuma força. O ar não o empurra para lugar nenhum, no entanto, porque o ar também empurra o balão de todas as direções e, portanto, também se cancela.

Agora a força é calculada como aceleração de massa * (a.k.a.um boliche na cabeça vai acertá-lo com mais força do que uma bola de gude movendo-se na mesma velocidade porque tem mais massa e, portanto, mais força). A aceleração no nível molecular é diretamente proporcional à temperatura. Como a temperatura de todos os gases no carro é a mesma, podemos cancelar isso, e a única coisa que afeta a força com que as partículas são empurradas é a massa das partículas.

Voltando para o nosso carro. : A gravidade puxa para baixo todas as partículas do carro com a mesma aceleração constante, 9,8 m / s ^ 2. As partículas de ar são puxadas para baixo com uma força igual à sua massa * 9,8 m / s ^ 2. As partículas de hélio também são puxadas na mesma aceleração, mas como sua massa é muito menor do que a do oxigênio, nitrogênio e outras partículas no ar, sua força descendo é muito menor e elas são empurradas de volta por mais partículas de ar fortes. É por isso que o balão flutua.

Em seguida, o carro começa a se mover. Seguindo a lei da inércia (um objeto em repouso tende a permanecer em repouso até que seja acionado por uma força externa), mesmo que o carro comece a se mover para a frente, as partículas de gás permanecem no lugar. Imagine uma bola flutuando acima do painel que permanece neste local absoluto, não importa como você se move. Puxe um pé para a frente e agora ele estará acima do console central. Mais alguns centímetros e estará no banco de trás. Isso é exatamente o que acontece com todas as partículas de gás no carro. Agora todas as partículas foram movidas para a parte traseira do veículo e há muito menos na frente. Como agora há mais partículas de ar atrás do balão para empurrar contra ele do que atrás dele, as forças não se cancelam mais e o balão é empurrado para frente.

Espero que isso ajude a explicá-lo com mais clareza . Desculpe, isso foi muito prolixo, me avise se precisar de alguma explicação melhor!

Comentários

• Alguma física instável aí … por exemplo, um a bola de boliche bate com mais força do que uma bola de gude movendo-se na mesma velocidade porque carrega mais momento, portanto, pará-la causa uma mudança maior no momento, o que significa que mais força foi aplicada se a parada de ambas ocorrer no mesmo intervalo de tempo. Cerca de metade da resposta está correta e, de modo geral, ‘ é mais ou menos correta, mas perde vários detalhes (importantes).
• Verdade, ‘ já faz um tempo que o plus estava tentando simplificar o máximo possível. Sinta-se à vontade para editar conforme necessário.