Como posso plotar o gráfico complexo de $ x ^ x $ no Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Aqui “uma visualização que mostra como o gráfico começa a espiral para valores $ x $ negativos, se levarmos os valores complexos em consideração.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Na verdade, se escrevermos $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, este n aturalmente generaliza para $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; cada $ 2i \ pi k $ representa outro ramo do logaritmo complexo. Neste contexto, vemos que este gráfico forma apenas uma espiral de uma família de espirais.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

Nas classes elementares, você pode ver a afirmação de que $ (p / q) ^ {p / q} $ é definido para $ p $ negativo e $ q $ ímpar e positivo. Assim, incluindo esses pontos, o gráfico pode ter a seguinte aparência:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Da perspectiva complexa, os pontos surgem como pontos onde um dos fios da espiral perfura o plano $ x $ – $ z $.

Comentários

• Escolhi yulinlinyu ' s como a resposta porque respondeu minha pergunta direta e sucintamente – mas Mark Mcclure ' s a resposta vai além – e é a verdadeira joia neste tópico!

Como yulinyu apontou fora, algo como o seguinte fornecerá o gráfico desejado.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Você também pode estar interessado em esta excelente resposta de Simon Woods para criar um gráfico do enredo sobre o domínio complexo. Usar sua função e avaliar o seguinte fornece uma imagem bonita

domainPlot[#^# &] 

Comentários

• Por um segundo pensei que fumava …. mas não
• Você está treinando seus poderes hipnóticos?

Você pode usar o novo nas funções M12 ReImPlot e ComplexPlot para visualizações complexas de uma função . Usando ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

e ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Também

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

faz o trabalho na versão 12.0.