Confusão quanto ao cálculo do período fundamental?

As funções trigonométricas são essencialmente exponenciais. Assim, uma duplicação do argumento corresponde a uma quadratura da função (em certo sentido). Neste caso, pode ser visto aplicando a fórmula de adição de ângulo:

$$ \ begin {align} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {align} $$

Fazendo

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Aplicando ao seu equação:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Disto fica bem claro que o período fundamental é 0,25, pois isso torna $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Mediante solicitação:

$$ \ begin {align} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {alinhado} $$

Você deve ser capaz de descobrir a partir daí. Observe, o caso ao quadrado poderia ter sido tratado da mesma maneira.

Eu uso essa técnica extensivamente para estas fórmulas:

• Fórmulas de frequência quase instantânea exata Melhor em picos (Parte 1)
• Fórmulas de frequência quase instantânea exatas, melhores nos picos (parte 2)
• Fórmulas de frequência quase instantânea exatas, melhores em cruzamentos zero

Comentários

• Por favor, gentilmente atualize a 2ª última linha da sua resposta. É o período fundamental que é 0,25 não a frequência fundamental
• @Man Feito, boa pegada. Desculpe por isso.
• Por favor, atualize um pouco sua resposta para atender à necessidade de perguntas atualizadas
• @Man Quit shifting the goal posts. n = 3,4,5 … pode ser calculado de acordo com o padrão. o resultado final é $ n4 \ pi T = 2 \ pi $, que é o mesmo que $ T = 1 / (2n) $

Isso parece mais um problema de semântica.

Um sinal é periódico com o tempo $ T $ se

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Portanto, o sinal é periódico em $ 0,5 $ visto que para $ T = 0,5 \ cdot n $ o argumento do cosseno é um múltiplo inteiro de $ 2 \ pi $ . Como é periódico em $ 0,5 $ , também é periódico em todos os múltiplos inteiros de $ 0,5 $ , ou seja, $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ etc.

Neste caso, “também é periódico em $ 0,25 $ desde $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Portanto, qualquer sinal periódico tem um número infinito de períodos, o fundamental é o menor e todos os outros são múltiplos inteiros do fundamental.

Se ajudar, gere uma onda senoidal de amplitude unitária a 1 Hz e seu quadrado:

Então, a onda senoidal e seu quadrado têm esta aparência:

Você pode ver o componente DC: o valor médio da onda senoidal quadrada (média sobre um número inteiro de períodos) é 1/2. E a frequência da onda senoidal vermelha é exatamente duplicada, então o período é reduzido à metade. A DC e a frequência dobrada são as “frequências de batida” obtidas pela multiplicação da onda senoidal por si mesma.

Comentários

• que software você está usando?
• Estou usando um programa de simulação comercial chamado Extend (versão mais antiga) e ExtendSim (versões mais recentes), da Imagine That, Inc. Elas são aumentadas com quatro bibliotecas de blocos que comecei a desenvolver em 1990. Minhas bibliotecas, chamadas LightStone, estão disponíveis gratuitamente, com o código-fonte completo comentado. O URL para minhas bibliotecas é umass.box.com/v/LightStone . Estarei atualizando as bibliotecas até o final da semana para que funcionem com a última versão ExtendSim 10.0.6 (deve ser apenas uma recompilação). O modelo acima foi feito com Extend 6.0.8 em um Mac antigo (gosto de sua aparência).
• Obrigado, ' vou dar uma olhada: )