Aqui está uma questão de probabilidade (provavelmente muito simples) que não tenho certeza de como resolver:
Gamma distribuição $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ com $ \ mu = 20 $ e $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
A questão anterior foi encontrar os valores de $ \ alpha $ e $ \ beta $, o que fiz usando $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ e $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alpha $$ \ beta ^ 2 $.
Para o cdf de distribuição gama, meu livro diz $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ onde $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ é a distribuição gama padrão cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Para integrar isso, parece que preciso usar a regra da cadeia, mas nosso professor nunca fez um exemplo. Existe um método de atalho? Nunca usamos integração em um exemplo real, apenas para definir o pdf e obter o cdf para distribuições diferentes.
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Os exemplos em meu Um livro didático envolvendo problemas de distribuição gama padrão, digamos para procurar os valores de $ F (x; \ alpha) $ na Tabela A.4 do apêndice. Quando olhei, a Tabela A.4 estava faltando, o que realmente me decepcionou. tabelas de distribuição gama padrão online que posso imprimir e entregar com a tarefa? Verifiquei o Wolfram Alpha, mas eles não tinham uma. A Casio tem algo , mas não tenho certeza de quais são os parâmetros de forma e escala.
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Encontrei aquela tabela. Na frente do livro, a Tabela A.5 veio logo depois de A.3, por isso pensei que A.4 estava faltando. Fui à biblioteca para ver se eles tinha o mesmo livro; eles tinham, e alguém teve o bom senso (que eu não tive) de olhar no final do livro, e lá estava. Não é necessária mais ajuda.
Comentários
- Você precisa integrar por partes repetidamente começando com $ u = y ^ {\ alpha-1} $ e $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ e $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Cada vez que você fizer isso, obterá uma integral com um expoente menor para $ y $. Se $ \ alpha $ for um inteiro, você poderá finalizar o processo. Se $ \ alpha $ não é um número inteiro, as coisas são mais complicadas.
- @dilip você deve postar seu comentário como uma resposta.
- @DilipSarwate, não existe uma solução de forma fechada para $ \ alpha $ non-integer, este cdf é então a função gama incompleta .
- E eu duvido fortemente que a integração por partes fosse o objetivo do exercício.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
Resposta
Conforme sugerido por probislogic, meu comentário é convertido em uma resposta.
Você precisa integrar por partes repetidamente começando com $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, e usando $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Visto que $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, cada vez que você faz uma integração por partes, você obterá uma integral com um e menor xponente para $ y $ no lado direito. Se $ \ alpha $ é um inteiro (como é neste caso particular), você poderá terminar o processo com $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Se $ \ alpha $ não for um número inteiro, as coisas são mais complicadas porque não existe uma expressão geral de forma fechada para $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ onde $ 0 < \ gamma < 1 $. Conforme observado por Xi “an, o cdf é a função gama incompleta e seus valores numéricos foram tabulados.
Se a integração por partes não é o objetivo deste exercício, conforme sugerido no comentário de Elvis, você pode querer verificar se seu professor deseja que você pense no valor de uma variável aleatória gama como um tempo de chegada em um processo aleatório de Poisson e resolva o problema desse ponto de vista.
Comentários
- Existe uma tabela online para vários valores de xe alfa? Meu livro didático tem apenas tabelas para curvas normais padrão e distribuições t. Tentei procurar uma, mas encontrei muitas tabelas Qui-quadrados em vez disso
- Não ' conheço uma tabela online, mas o MATLAB calculará os valores para você , e suponho que R ou Mathematica ou Wolfram Alpha ou Maple ou … etc fariam o mesmo.