Na esta resposta, Jim Clay escreve:
… use o fato de que $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
A expressão acima não é muito diferente de $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Tenho tentado para obter a expressão posterior usando a definição padrão da transformação de Fourier $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ mas todos Acabei com uma expressão tão diferente do que aparentemente é a resposta.
Aqui está meu trabalho:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
É aqui que estou preso.
Resposta
Seu trabalho está OK, exceto pelo problema de que a transformada de Fourier de $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ não existe no sentido usual de uma função de $ f $, e temos que estender a noção para incluir o que são chamados de distribuições, ou impulsos, ou deltas de Dirac, ou (como nós engenheiros costumamos fazer, muito para o desgosto dos matemáticos) funções delta . Leia sobre as condições que devem ser satisfeitas para que a transformação de Fourier $ X (f) $ do sinal $ x (t) $ existe (no sentido usual) e você verá que $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ não tem uma transformada de Fourier no sentido usual.
Voltando à sua pergunta específica, uma vez que você entenda que os impulsos são definidos apenas em termos de como eles se comportam como integrantes em uma integral, ou seja, para $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ desde que $ g (x) $ seja contínuo em $ x_0 $, então é mais fácil deduzir a transformada de Fourier de $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ refletindo sobre o fato de que $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ e portanto deve ser $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ é a transformação inversa de Fourier de $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Resposta
Então basta usar uma tabela de pares de transformação de Fourier para ver que $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ e substituição de variável ($ f_1 = f + f_0 $ e $ f_2 = f-f_0 $), para obter o que você precisa.
Comentários
- O que, é claro, levanta a questão de como a pessoa que escreveu a tabela veio com a resposta que está na tabela.
- @DilipSarwate 🙂 Agora você ' está fazendo uma pergunta muito, muito mais difícil. 🙂
- Veja minha resposta para uma versão da resposta à pergunta muito mais difícil que pode passar no teste de troca de pilha se não em math.SE!
- @DilipSarwate: você ' Já recebi meu +1. Obrigado, boa resposta. Concordo com os caras da matemática. SE ficariam chocados. Tudo bem, nós ' somos engenheiros. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…