Quero analisar a derivação da representação de frequência de um trem de impulso.
A definição da função de trem de impulso com período $ T $ e a representação de frequência com frequência de amostragem $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ que eu gostaria de derivar é:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { alinhar *}
Usar a representação exponencial da série de Fourier da função de impulso e aplicar a transformada de Fourier a partir daí resulta em:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Para ir daí para o resultado final, parece que a integração seria precisa estar acima de um período de $ 2 \ pi $. Onde $ \ Omega = -k \ Omega_s $, o expoente seria $ e ^ 0 $ e se integraria a $ 2 \ pi $ e para outros valores de $ \ Omega $, haveria uma onda senoidal completa que se integraria a zero. No entanto, os limites de integração são de infinito negativo a infinito positivo. Alguém pode explicar isso? Obrigado!
Resposta
Você percebeu corretamente que as integrais ocorrentes não convergem no sentido convencional. O mais fácil (e definitivamente não rigorosa) de ver o resultado é observando a relação de transformação de Fourier
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Pelo deslocamento / propriedade de modulação que temos
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Portanto, cada termo $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ na série Fourier se transforma em $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, e o resultado segue.
Comentários
- Isso é perfeito e muito mais fácil do que imaginei. Muito obrigado !!!
- A outra resposta também estava correta. Troquei a aceita.
Resposta
@MattL sugeriu uma maneira simples e agradável de ver o resultado acima.
Mas se você deseja ver o resultado nas equações de análise normal que mencionou, pode fazer o seguinte.
Digamos que S (t) é um trem periódico de impulsos. Então, S (t) pode ser escrito como
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Agora, se você pegar a série de Fourier de S (t), pode escrever S (t) como
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Onde $ C_n $ são coeficientes exponenciais da série Fourier e $ w_o $ é o frequência fundamental.
Portanto, da série exponencial de Fourier sabemos que
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Agora, na expressão acima, substitua o valor de S (t) da primeira expressão.
Portanto, $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Agora, você tem que fazer uma observação, se você observar a integral, ela vai de -T / 2 a + T / 2. Durante este período integral, observe que existe apenas um único impulso $ \ delta (t) $. Todas as outras funções de impulso na soma ocorrem após T / 2 ou antes de -T / 2. Portanto, no total, a equação acima para $ C_n $ pode ser escrita como
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
A partir da propriedade de peneiração, podemos escrever o acima como
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Agora coloque este valor de $ C_n $ na primeira equação S (t)
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Agora encontre a transformada de Fourier da equação acima
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Portanto, a transformação de Fourier é $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Isso deve ajudar.