Descrição simples da interação de troca?

A interação de troca é uma adição a outras interações entre partículas idênticas causadas pela simetria de permutação.

Esta adição é o resultado de uma forma específica de multipartícula função de onda. Não dá nenhuma contribuição ao hamiltoniano ao contrário das interações “usuais”, mas aparece como um termo adicional nas equações para funções de onda de única partícula (por exemplo, equação de Hartree-Fock).

Interação geralmente associada com energia e forças. Poderíamos encontrar a correção de troca como uma força adicionada às forças de Coulomb, mas devemos entender primeiro o que é força no sistema quântico.

Vamos considerar dois férmions com funções de onda de coordenadas de partícula única $ \ psi_a ( x) $ e $ \ psi_b (x) $ e funções de onda de spin $ \ phi_a (s) $ e $ \ phi_b (s) $. As possíveis funções de onda de duas partículas são singuleto com parte coordenada simétrica $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ e tripleto com coordenada anti-simétrica parte $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$

Deixe o Hamiltoniano de duas partículas não depender de spins: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ então a energia média da interação será: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$

O termo $ U_ \ text {ex} $ não é zero apenas se as partículas estão próximas o suficiente umas das outras e suas funções de onda se sobrepõem (veja a imagem abaixo). No limite clássico, quando a distância $ L $ é grande, a sobreposição é zero e $ U_S = U_A = U $

Vamos supor que $ \ psi_a $ e $ \ psi_b $ são não negativos em todos os lugares anv $ V $ atua como interação de Coulomb (ou seja, positiva e diminui quando a distância aumenta). Então $ U $ e $ U_ \ text { ex} $ são positivos e a energia do estado de coordenada simétrica (espinhos opostos) é maior do que a energia do estado de coordenada anti-simétrica (espinhos semelhantes). Se as posições médias das partículas forem fixas, a interação de troca colocará os giros na mesma direção.

A força de interação entre as partículas pode ser definida como a força generalizada correspondente ao parâmetro L: $$ F = – \ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ Dentro de nossas suposições sobre $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ e $ V $ as derivadas de $ U $ e $ U_ \ text {ex} $ são negativas. Portanto, a força “usual” é positiva (repulsão) e a força de troca é positiva para coordenadas simétricas s tate e negativo para o estado de coordenada anti-simétrica (atração).

Portanto, a interação de troca para o caso de dois as partículas podem ser consideradas como força adicional dependendo da configuração do spin. Para partículas múltiplas, isso é mais complicado.

Comentários

• Olá, como entender a força efetiva de interação de troca para Fermion é atraente? Muito contra-intuitivo.