Digamos que de alguma forma $ 100 (1- \ alpha) \% $ intervalo de confiança da média da população $ \ mu $ é conhecido como $ (a, b) $ e o número de amostras é $ n $ . É possível inferir estimativas pontuais da média da população e da variação da população a partir dessas informações? Nesse caso, a suposição é que a população segue uma distribuição normal.
Uma ideia é que, como o intervalo de confiança da média da população pode ser calculado se conhecermos a média da amostra $ \ overline {x} $ e a variância da população $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , nós pode definir $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ e resolva para $ \ overline {x} $ e $ \ sigma $ . Certamente, neste caso, $ \ overline {x} $ pode ser tratado como uma estimativa pontual da média da população. No entanto, e quanto a $ \ sigma ^ {2} $ ? Essa é a “verdadeira” variação da população ou é apenas uma “estimativa pontual” da variação da população? Estou realmente confuso sobre como $ \ sigma ^ {2} $ deve ser interpretado neste caso.
Resposta
Você pode derivar $ \ bar {x} $ e $ \ sigma ^ 2 $ que gerou esse intervalo de confiança, sim. Conhecer o tamanho da amostra e o nível de $ \ alpha $ é fundamental, no entanto, e você não pode resolver o problema sem essas informações.
O z- intervalo de confiança baseado implica em uma variação conhecida que é usada no cálculo do intervalo de confiança, então, quando você usa a largura para resolver a variação, está resolvendo a variação verdadeira $ \ sigma ^ 2 $ , não uma estimativa $ s ^ 2 $ . Se o intervalo de confiança for baseado em t, então você estará resolvendo para $ s ^ 2 $ .
A largura de uma confiança baseada em z intervalo não depende dos dados, uma vez que você conhece a variância da população. Quando você conhece um parâmetro, não se preocupa em estimá-lo.
Comentários
- Se eu entendi bem, então a resposta dependeria se o intervalo de confiança foi derivado pelo método baseado em z ou método baseado em t. Obrigado por sua resposta.
- Isso explica porque usamos intervalos baseados em z e intervalos de confiança baseados em t. Se sabemos a variância da população, não ' não nos importamos com intervalos de confiança baseados em t, e o intervalo baseado em z tem sua largura determinada por $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Quando não ' sabemos a variação da população (quase sempre), estimamos a variação da população em $ s ^ 2 $ e usamos intervalos de confiança baseados em t para contabilizar a incerteza em torno da estimativa (ou seja, levando em consideração o fato de que nossa estimativa pode ser uma estimativa ruim).